AGH - WYDZIAŁ IMiR ROK I li i II' EGZAMIN /. MA I ematyki KRAKÓW 9 1.1 JTY 2007
I a) Co to znaczy, tt (\iukcja y * f(x) jest lewostronnie ciągła w punkcie Xo ? h) Dobierz parametry o i A tak, aby (linkcja / określona wzorem
3* * dla x<0 /(x)*|3A dla x*0
[(l ł ax)m» dla .r > 0 była ciągła w punkcie Xo m 0,
2 a) Podaj definicję pochodnej /'(*») Korzystając z tej definicji oblicz pochodną
funkcji y = —Lr w punkcie *0 4 .
V*
_ 1
b) Oblicz pochodną fiinkcji; y =* urctgyj4x — I + x* .
3 a) Podaj dwa twierdzenia dotyczące własności funkcji ciągłych,
b) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f{x)=\](x2 +1)2 na przedziale 2,3). Skąd wiemy, źe to zadanie posiada rozwiązanie ?
A a) Podaj twierdzenie będące warunkiem wystarczającym na istnienie punktu przegięcia wykresu fiinkcji w punkcie ,P(x0,/(x0)).
b) Wyznacz przedziały, w których funkcja f(x)=x2 ln * jest jednocześnie malejąca i wypukła ku ku górze.
p a) Opisz sposoby obliczania całek postaci; J •■T^.air.r.--u.,*: ■/. w zależności od znaku
J yax2 + bx a-c
współczynnika „a”,
r 2x -1
b) Oblicz całkę nieoznaczoną: I ------- --— d\ .
J V9x2 -4
6
a) Podaj w formie twierdzeń dwie własności całki oznaczonej ( nie dotyczy działań arytmetycznych na funkcjach podcałkowych!).
b) Oblicz całkę oznaczoną: [ —7-^—-—
* x - 3x+ 2
I a) Jak obliczamy pole obszaru zawartego między osią Ox i łukiem krzywej dla x € (o, A) jeśli a ) krzywa opisana jest równaniem y~f(x) dla xe(cr,A),
P) krzywa opisana jest równaniami parametrycznymi (jakimi podaj postać).
b) Oblicz długość łuku krzywej y m łnsituc dla x