2004 poprawkowy

AGH - WYDZIAŁ IMiR ROK ID n EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KRAKÓW 12.03.2004

1    a) Podaj definicję i ilustrację geometryczną niewłaściwej granicy lewostronnej

IimA*)^

x—yx^

Wśród zananych Ci funkcji podaj przykład takiej, która spełnia powyższy warunek.

b) W punkcie x = 0 oblicz granice jednostronne funkcji /(*) = e ^x i rozstrzygnij czy

ta funkcja ma granicę w podanym punkcie .

x ~~ 3

2    a) Sprawdź , czy funkcja y -- spełnia równanie : 2(y') ~{y- l)v".

x + 4

b) Oblicz .y(0),^'(o),_y'^r(0) jeśli y = e^KMX cos{s\r]x) .

3 . Podaj wypowiedź twierdzenia de THospitala i korzystając z niego oblicz;

_#. x-s\nx

■a>

\

Co znaczy, że firnkcja y * j(x) ma-maksimum lokalne w punkcie xo ?

Podaj dwa twierdzenia dotyczące ekstremów funkcji y - f(x). b) Znajdź przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji y - x²e^.

5 . a) Podaj postać ułamka prostego II rodzaju i opisz sposób wyznaczania całek postaci:

J

b) Zilustruj to na przykładzie całki: f , —-.

^J x^z ~4x + 5

gdzie A=.ó -4ac<0,

dx    >

coc¹ +bc + c

6 . Podaj definicję całki oznaczonej funkcji y =f(x) w przedziale (n,ó).

^>^a) Wyjaśnij, co to znaczy „ że całka niewłaściwa

j/to*

a

jest rozbieżna

b) Zbadaj zbieżność całki : f .

i \x

8 . Narysuj figurę ograniczoną krzywymi o równaniach : y - sinx oraz y = ] - sinx

dla    Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu tej figury wokół osi Ox .

o 6