img014 2

Egzamin z matematyki - część zadaniowa IMIR, rok I

dr Ryszard Mosurski, 18.09.2000r.

Każde zadanie punktowane jest w skali 0-10 punktów. Egzamin trwa 120 min.

Przez punkt A(I,2,1) poprowadź płaszczyznę prostopadłą do rzutu prostej

,    x-\ y-3 z

l: —-— =-— = —    na płaszczyznę TC :x + y + Z 4*1 = 0.

2 2 2

2. Oblicz objętość bryły ograniczonej stożkiem obrotowym z —X + y

i walcem X² +(y — l)² =1.

3. Znajdź całkę szczególną równania różniczkowego y — 3 y 4- 2_y = sm(e~^x) spełniającą warunki początkowe ^(0) = 0, y (0) = 1.

y²    z²    2

4. Znajdź ekstrema lokalne funkcji f{x_:,y_i z) — X -i--4---i— (x > 0,y > 0,z > 0).

4x    y    z

K.s

yL

Wykaż, że płaszczyzny styczne do powierzchni -/x + *Jy + *sfz = \/n odcinają na osiach układu współrzędnych odcinki, których suma długości jest stała.