img006 3

1.

Egzamin z matematyki dla I roku IMIR termin 3.(i ostatni)

Każde zadanie punktowane jest w skali 0-20 punktów. Egzamin trwa 2.5 godziny.

Czy pochodna kierunkowa funkcji f (x, y) = y² / X, X&0, w dowolnym punkcie elipsy

X² + 0.5y² = 0.5 w kierunku dowolnego wektora normalnego do elipsy w tym punkcie równa się zero ?.

2. Podaj tw. Taylora dla funkcji n-zmiennych. Wyznacz eks\-. ma lokalne funkcji:

/(*,,x₂,..xj = (x,³ + x₂⁴ +... + x„ⁿ*²)- (3x, + 4v ■*-...+ (« + 2)x„) gdzie: x. > 0,

3. Podaj definicję wyznacznika macierzy. Rozwiąż metodą i ..cierzową (obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej) układ równań liniowych: •

'4x-6y-3z = -9 < x + 2y + 4z = 0 2z-f-3_y-5x = 4

Przez punkt A( 1,2,1) poprowadź płaszczyznę prostopadłą do rzutu prostej

, _ jc — 1 _ y-3 _ z

na płaszczyznę 7r:x + y + z + l = 0.

2 -1

Podaj rekurencyjną definicję wyznacznika z macierzy

Podaj tw. o zamianie zmiennych w calce podwójnej. Udowodnij (stosując całkę podwójną) wzór na pole koła o promieniu r.