img013

Egzamin z matematyki dla I roku IMIR, 20.06.2001

Każde zadanie punktowane jest w skali 0-10 punktów. Egzamin trwa 120 min.

1.

Wykaż ,ż e pochodna kierunkowa funkcji f(x,y) = ~,jc ^ 0, w dowolnym punkcie elipsy 2x² +y² = a² w kierunku dowolnego wektora normalnego do elipsy w tym punkcie równa si ęzero.

2. Sprawdź, czy pochodu mieszane funkcji

• f(x,y) = ■

x²-v²

xy —---y dl^Q x&0 lub yź 0

x^{2 J}-v²

0    dla x=y=Q

są równe w punkcie (0,0;. Dlaczego tak jest ?

3. Zbadaj rozwiązalne.*. układu równań liniowych

■_x+fy-3z=r 1

< 2x+y + z = 0 3x + ky — z ~ 0

4. Podaj metodęobliczania całki ogólnej równania róż niczkowego liniowego n-togc rzędu

;nv:.r.;kach

stałych. Rozwiąż równanie:

:2y 2-Jy _

y +---₂

x cos *

= 0,

Z ⁼ ^ j )C^| ł\ rUv 'i ‘-•e? K j 1’C^,__j

r‘

i

r    x y

5. Obliczcałkę 4>x ydx-ydy, gdzie K:—j + ~ = i jest krzyw ą r.cr lento w.iną dodutr.io.

*    hi