img027

Egzamin z matematyki dla I roku IMIR

Każde zadanie punktowane jest w skali 0-20 punktów. Egzamin trwa 120 min.

) 1. Wykaż, że pochodna kierunkowa funkcji f{xy ) = ~ , x & 0, w dowolnym punkcie elipsy ¹    2x + y — a w kierunku dowolnegó wektora normalnego do elipsy w tym punkcie równą się zero.

2. Sprawdź, czy pochodne mieszane funkcji

/O

x²-y²

xy —=-zr dla x ^ 0 lub y ^ 0

jc + jp

0    dla x =y = 0

/(^)=•

są równe w punkcie (0,0). Dlaczego tak jest ?

3. Zbadaj rozwiązalność układu równań liniowych

x + ky-3z = 0 - 2x -hy + z = 0 3x + ky-z = 0

2x£j OZ-*' 6*

_    Jk² +1 — V*²    Podaj twierdzenie o zbieżności po

'-2k²+k    k    ■

współrzędnych, z którego należy tu skorzystać.

4. Oblicz granicę ciągu {(-

k² +2

5. Podaj tw. Greena. Oblicz całkę fx²yćic'—yć/y, gdzie K:~ + —- = 1 jest krzywą zorientowaną

x    ab

dodatnio.