21428

Zadania z analizy matematycznej dla I roku IE 1) Oblicz pochodne cząstkowe I i II rzędu dla podanych .funkcji:

a)    f( x,y) = y* + łjlx + ly - In( 4x'¹ + 6y" + 50) + sin( ^X )

y

b)    H x, y, z) = x^,0y⁷z⁴ +    Jxyz - ^ - 2x⁷    3 z> - 4 y^X7

c)    f( x, y ,z ) = c'^x~*’ ⁴ '^z - Lu(xV'z²) t- ln²x - Jlny    i    -J—

lnz

! 2Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

a)    f (x, y, z) = x² + y² +    z² + 2x • 4y - 6z

b)    f ( x, y, 7.) = x³ + y² +    z² +12 xy + 2z

c)    f ( x. y, z ) = 2x² i y² + 2z xy - xz

d)    f(x, y, z) = 6x² + 5y* + 14z² + 4xy-8xz -2yz i 12x • I2y i 30z + 22

e)    f ( X. y, z ) - 2x³ + y^r' - 6x - 12y + 2z³ - 6z

0 f(x,y,z)- x⁴ + -y³ -2x²-y²-3y + z³-óz²

3

g)    f ( X. y, z) - cos x - siny + sinz

h)    f ( X;, X2, Xl. X4 ) = X| ’ oXiX? t X_?^? - X;² - XjX., - X*²

> . Dla funkcji produkcji Q ( K, L ) lub Q ( K, L. E ) wyznacz pierwsze pochodne cząstkowe i elastyczności cząstkowe oraz oblicz ich wartości dla ustalonych wielkości nakładu kapitału K i nakładu pracy L ( nakładu energii E ). Podaj interpretację.

a)    funkcja Cobba - Douglasa:

Q ( K, r.) - 2 fi^{1 2}a^M    K,.= 1024,L_o-32

Q ( K, I.) - 0,3 -JK.L    K»= 25 , L„- 49

Q(K,L.E) = \2 </k I.⁰² E K<, = 8, U = 32,    = 1

1

   funkcja CES :

Q (K, L ) = 3 (0^2 K^oa + 0,8 L^0,4 f Ko=32,U = 243 Q ( K, L ) = 2 -JK + L    K_v,- 10, T^.-20

Q ( K, L, E ) = (0,1 K'² - 0.3L'² + 0,6 Ef* K<,= 10_s U = 100, E«=- 1

d) funkcja translog:

lnQ (K, L) = 2 -0,3 InK + 0,1 InL - 3hiKlnL + ln²K+ hi²L K., = 1. L₀ = c Q( K, L )~K²‘^{lnK + lnL} L^{3 + ,nK}-^!nL Ko-*e², L₀ = e³ 4. Wyznaczizokwanly następujących funkcji:

a)    funkcji użyteczności: U ( x, y)= x²y; U( x, y>- min{x+l, y}; U(x, y)- 2x¹3y

b)    funkcji produkcji: Q( K, L)= KL²; Q( K, T.)^ min{K, L+2}

2

   firnkcji kosztów: C( K. L) - 2K i L;