img025 3

Egzamin z matematyki dla I roku IMIR, 24.09.2001

Każde zadanie punktowane jest w skali 0-10 punktów. Egzamin trwa 120 min.

Czy pochodna kierunkowa funkcji f (x, y) y² / X,    ? 0, w dowolnym punkcie elipsy •

X² + 0.5y² = 0.5 w kierunku dowolnego wektora normalnego do elipsy w tym punkcie równa się zero ?._o

T ..... ■    .Taić

2. Podaj tw. Taylora dla funkcji n-zmiennych. Wyzna :z ek*

•V- • :    ■ ■ .; ,

(x,³ +x₁“ +...+x’*¹)-(3x, +* gdzie: x/>_0₃ i = 1..«.

lPj, ' . ..

/ma lokalne funkcji:

*    O

+... + (;i+2)x„)

<TJtr W-

\J_: 3. .. Podaj definicję wyznacznika macierzy. Rozwiąż metod- ńerzową (obliczając macierz odwrotną do macierzy’głównej) układ równań liniowych:    n n    i

1/UK*-    O

4x-6_y-3z = -9 X t 2 V *r 4 z — 0

'D-if. £ł*s

V?: S:i£’r; ą [2z 3_y - 5x = 4

i*

. • .    •CTJ .

o 4. Podaj metodę obliczania całki ogólnej równania różniczkowego liniowego n-tego rzędu o współczynnikach stałych. Rozwiąż równanie:

.    2 Jy    2 y

; /'CtTT,    > rns r \- £* •"

W-euA.. Ch . Hr

,    ..... xfxlv-x(- £cc[c^pixlfól _ti

1

^ ^w c#?;x

; _

5. Podaj tw. o zamianie zmiennych w całce podwójnej. Udowodnij (stosując całkę podwójną) wzór na pole •    V—“ koła o promieniu r. "    -.-V'    " ' ■    "