3582307974

Kolokwium z Algebry - V.2012 r.

1. Dana jest macierz

A -

1 -3 3 3-5 3 6-6 4

a)    Wykaż, że -2 jest wartością własną; wyznacz jej krotność algebraiczną i geometryczną;

b)    Wyznacz pozostałe wartości własne; wyznacz ich krotności alg. i geom.;¹

c) Czy £

jest podprzestrzenią niezmienniczą tej macierzy?

2. W zależności od parametru p zbadaj określoność macierzy

B_p =

2p p 1 p p 0 1    0    p

1		0		' 1 '
0	,v =	-1	,w =	1
_ -1 _		_ -1 _		0

3. Dane są wektory

Wykaż, że można z tych wektorów zbudować trójkąt równoboczny;

(Wsk. Muszą leżeć w jednej płaszczyźnie i ...)

4. Dany jest zbiór X — {(®,y, z) G M³: 2x — y 4- z = 0}.

a)    Wyznacz bazę ortogonalną (61,62) przestrzeni X;

b)    Wyznacz wektor 63 taki by układ (61,62,63) był bazą ortogonalną całej przestrzeni M³;

c) Wyznacz odległość wektora

1

1

1

od przestrzeni X.

5.    Dane są zbiory A — {{x,y, z) € M³: x² + y² 4- z² = 5} oraz odcinek PQ łączący punkty P — (1,2, —1) i Q = (3,0,1).

a)    Wyznacz hiperpłaszczyznę rozdzielającą zbiory A i PQ;

b)    Czy istnieje hiperpłaszezyzna podpierająca jednocześnie zbiór A i PQ? Jeśli tak, to podaj przykład takiej hiperpłaszczyzny oraz w jakich punktach podpiera te zbiory.

6.    Dane jest odwzorowanie dwuliniowe F: M² x M² —► R zdefiniowane wzorem

F

(

x1

yi

x₂

V2

)

= 5xix₂ + 2xjy₂ + 2y₁x₂ + yiy₂

a)    Uzasadnij, że F jest iloczynem skalarnym;

1

-1

b)    Znajdź wektor prostopadły (w znaczeniu iloczynu skalarnego F) do wektora c =

c)    Wyznacz normę |||c||| (pochodzącą od iloczynu skalarnego F)\

d)    Podaj przykład bazy ortogonalnej (dla iloczynu skalarnego F).¹

1

Proszę pomyśleć