114734

Kolokwium z Algebry - V.2012 r.

1. Dana jest macierz

A =

1 -3 3 3-5 3 C -0 4

a)    Wykaż, że —2 jest wartością własną; wyznacz jej krotność algebraiczną i geometryczną:

b)    Wyznacz pozostałe wartości własne; wyznacz ich krot ności alg. i geom.;¹

c) Czy C

1

1

1

jest podprzestrżenią niezmienniczą tej macierzy?

2.

W zależności od parametru p zbadaj określoność macierzy

' 2p p 1

B_p =

P P o

1    0 p

	■ 1 ■		0		■ 1'
U =	0	, V =	-1	. U’ =	1
	-1		-1		0

3. Dane są wektory

Wykaż, że można z tych wektorów zbudować trójkąt równoboczny;

(Wsk. Muszą leżeć w jednej płaszczyźnie i ...)

4. Dany jest zbiór X = {(x,y,z) € R'^J: 2z - y + z = 0}.

a)    Wyznacz bazę ortogonalną (61,62) przestrzeni X;

b)    Wyznacz wektor 63 taki by układ (61,62.63) był bazą ortogonalną całej przestrzeni R³;

c) Wyznacz odległość wektora

1

1

1

od przestrzeni X.

5.    Dane są zbiory A = {(x. j/. 2) € R³: x² 4- y² 4- z² = 5} oraz odcinek PQ łączący punkty P = (1,2, — 1)

i Q = (3.0.1).

a)    Wyznacz hiperpłaszczyznę rozdzielającą zbiory A i PQ.

b)    Czy istnieje hiperpłaszczyzna podpierająca jednocześnie zbiór A i PQ1 Jeśli tak. to podaj przykład takiej hiperplaszczyzny oraz w jakich punktach podpiera te zbiory.

6.    Dane jest odwzorowanie dwuliniowe /•’: R² x R² —» R zdefiniowane wzorem

F ( [    ^ ] ) ⁼ 5X,X2 + 2X,!/2 + 2j/lX2 + mV2

a)    Uzasadnij, że F jest iloczynem skalarnym:

b)    Znajdź wektor prostopadły (w znaczeniu iloczynu skalarnego F) do wektora c =

c)    Wyznacz normę |||c||| (pochodzącą od iloczynu skalarnego F);

d)    Podaj przykład liazy ortogonalnej (dla iloczynu skalarnego F).¹

Proszę pomyśleć