8 M3 SzklarekM ŻurowskiŁ ZAD82

TEORIA

Energię sprężystą dowolnego układu można przedstawić w postaci kwadratowej funkcji jednorodnej sił obciążających układ.

II

i = i 1

n n

«p,

k >

gdzie: 8_ik — liczby wpływowe.

Siły zewnętrzne P_t , czyli P₁, P₂ ,... , P_n przyjmujemy jako zmienne niezależne i różniczkujemy powyższe wyrażenie cząstkowo względem dowolnej siły zewnętrznej P, .

dV 1    1    1

^    ^    + ⁵il) + 2 ^P2^^S2i + ^Sil) +    + 2 ^Pn(.^Sni + ^Sin)

Ponieważ zgodnie z twierdzeniem Maxwella o wzajemności przemieszczeń jest 8_U = S_Ll. S_2l + 8_i2 , 8-ni + 8_in więc wyrażenie przyjmuje postać:

dV

— =    + P₂S_i2 + ••• + Pi8_a H-----h P_n8_in

dP i

Prawa strona tego wyrażenia to przemieszczenie u_t punktu i układu w kierunku działania siły zewnętrznej P_t .

Przyjmując kolejno i — 1,2, ...,n otrzymamy ostatecznie:

dV

= Ui~ Twierdzenie Castigliano

Pochodna cząstkowa energii sprężystej względem dowolnej zewnętrznej siły uogólnionej jest równa przemieszczeniu uogólnionemu w punkcie działania tej siły.

Siła uogólniona jest to siła skupiona lub moment zewnętrzny, a odpowiadające przemieszczenia uogólnione to przemieszczenia liniowe punktu działania siły lub momentu.

Postać ogólna twierdzenia Castigliano może być stosowana w także tych przypadkach kiedy obciążenie jest typu złożonego i znane są podstawowe siły wewnętrzne rozważanego układu sprężystego, jak:

M - moment gnący M = M(x)

T - siła tnąca, poprzeczna, ścinająca T = T(x)

N - siła normalna N=N(x)

M_s - moment skręcający M_s = M_s(x)