0561

563

§ 1. Teoria elementarna

i 2) dla dowolnej liczby e > 0 można znaleźć taką liczbę 8 > 0 niezależną od x, że

(3)    gdy b-^ol < to |/(x, y)-f>(x)| < e

dla wszystkich x ze zbioru X jednocześnie, to mówimy, że funkcja f (x, >>) dąży do funkcji granicznej <p (x) jednostajnie względem x w obszarze X.

Łatwo jest rozciągnąć to określenie na przypadek, gdy punkt skupienia y₀ jest w nieskończoności, np. gdy jest nim +00. Trzeba przy tym tylko nierówność \y—y₀\ < 8 zastąpić przez nierówność postaci y > A. W rozdziale XII, w ustępie 428, mieliśmy już do czynienia z przypadkiem szczególnym takiego jednostajnego zbliżania się do funkcji granicznej, chodziło tam o funkcję f_n(x) mającą wskaźnik naturalny n jako parametr.

W ustępie 429, rozpatrując ciągi funkcji stwierdziliśmy, że na to, aby zbieżność była jednostajna, musi zwykła zbieżność zachodzić w pewnym sensie równomiernie. Można to samo powiedzieć i w ogólnym przypadku. Mianowicie, gdy >₀ j^est skończone, to 1° Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby funkcja f{x,y) przy y -» y₀ miała funkcję graniczną i dążyła do niej jednostajnie względem x w obszarze X jest, żeby dla każdej liczby e > 0 istniała taka liczba 8 > 0, niezależna od x, że nierówność

(4)    I f(x, y')~f(x, v)| < £ spełniona jest dla wszystkich x ze zbioru X jednocześnie, jeżeli tylko

(5)    I_V ,V₀1 < 8, [/-jol < 8    (>-,/eQ/).

W przypadku gdy y₀ = +00, ostatnie nierówności trzeba zastąpić nierównościami y > A, y' > A.

Konieczność. Przypuśćmy, że zbieżność jest jednostajna. Zamieńmy e, występujące w definicji na e/2 i dobierzmy odpowiednio 5, a następnie weźmy dwie wartości y i y' z y tak, żeby spełniony był warunek (5). Niezależnie od wartości x będzie teraz

\f(x,y')-<p(x)\<Ą-e i W(x)-f(x,y)\<Ą-e,

skąd wynika już (4).

Dostateczność. Jeśli warunek 1° jest spełniony, to istnienie funkcji granicznej (2) jest od razu widoczne. Przejdźmy wobec tego do granicy w nierówności (4) przy y' -> y₀ i przy y ustalonym tak, żeby |y->’₀| <8. Otrzymujemy

\<p(x)-f(x, y)| <e,

a to właśnie oznacza, że /(x, y) dąży jednostajnie do funkcji granicznej f (x).

Pokażemy teraz, że badanie zbieżności jednostajnej funkcji można sprowadzić do badania zbieżności ciągu funkcji:

2° Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby funkcja f (x, y) dla y -» y₀ dążyła do funkcji <p (x) jednostajnie względem x w obszarze X jest, aby dla każdego ciągu {y„} o wyrazach należących do X, ciąg {f(x, v„)} dążył jednostajnie do <p (x).

W dowodzie ograniczymy się do przypadku, gdy y₀ jest skończone.