0310

311

§ 1. Pojęcia podstawowe

a₁,    jeśli dla każdej liczby e>0 można znaleźć taką liczbę <5>0, że

jeśli tylko

|*i—«i|<^.    •••>    K-a_B|<5.

Zakładamy przy tym, że punkt (x₂, x₂,    jest wzięty z M i różny od (a_1; a₂, ..., a„).

Tak więc nierówność dla funkcji ma być spełniona we wszystkich punktach zbioru Jl z dostatecznie małego otoczenia

(ai-8, a_t + ó ; ... ; a„-<5, a„+<5)

punktu M₀ z wyjątkiem samego punktu M₀ (jeśli nawet M₀ należy do M).

Granicę funkcji będziemy oznaczali tak:

(6)    A= limf(x₁,x₂,...,x_K).

xi-*a_l

W języku geometrycznym wprowadzając dla punktów (x_lt x₂, ..., x„) i (fli, a₂, ..., a„) oznaczenia M i M₀ można byłoby parafrazować przytoczoną definicję w następujący sposób. Liczba A nazywa się granicą funkcji f(M), gdy punkt M dąży do M₀, lub granicą w punkcie M₀, jeśli dla każdej liczby £>0 istnieje taka liczba r>0, że

\f(M)-A\<s,

jeśli tylko odległość M₀M<r.

Jak i wyżej zakładamy, że punkt M jest wzięty z Jt, ale jest różny od Af₀. Tak więc nierówność dla funkcji ma być spełniona we wszystkich punktach zbioru Jł leżących w dostatecznie małym otoczeniu kulistym punktu M₀, z wyjątkiem samego punktu M₀. Oznaczenie granicy funkcji można dostosować również do tej definicji

(6*)    A= lim /(M).

M-Mo

Z uwagi w ustępie 162 dotyczącej otoczeń różnych typów wynika bezpośrednio równoważność obu przytoczonych definicji.

Analogicznie wprowadzamy pojęcie nieskończonej granicy funkcji. W wypadku A — = +oo lub —oo nierówność

\f(x_i,x₂, ..., x„) —A|<e

zastępujemy tylko odpowiednio przez nierówność postaci

f(x_lyx₂,    lub f{x_t,x₂, ...,x„)<-£,

gdzie E jest dowolną, z góry zadaną liczbą dodatnią.

Wspomnimy na zakończenie o przypadku, gdy niektóre zmienne niezależne x_t, x₂,..., x„ dążą do granic nieskończonych.