1794

to <p[ n) zachodzi dla każdej liczby x-ł-yj^|x|+lyj    .

naturalnej u.

—I =\Ądla_y ń*0

y I W

-|xj^x^|xj

Pytanie 6

Definicja funkcji, iniekcja, suriekcja, bijekcja, funkcja odwrotna, superpozycja funkcji:

Niech X * 0 , Y * 0 . Zbiór f c XxY nazywamy

funkcji|, gdy dla każdego x g X istnieje dokładnie

jeden element y € Y taki, że (x. e f W skrócie: (vxe )(3! y e r)^x. y^e f

Piszemy f X -*Y oraz zamiast ^x. yj e f piszemy y = f(x)

Niech f l X —> Y . Mówimy, że:

a)    f jest iniekcji! (albo inaczej funkcją różnowartościową), gdy

(Vx„x₂e X)x,*x₂=> f(x_l)* f(x₂)

(Uwaga: korzystając z prawa kontrapozycji, można powyższy warunek zapisać w postaci

(Vx„x₂e X)f[xj = f(x₂) => x, = x₂)

b)    f jest suriekcją (albo inaczej funkcją „na”), gdy

(Vye y)(3xe X) f(x) = y

c)    f jest bijekcją, gdy jest jednocześnie iniekcją i suriekcją.

Pytanie 7

Zasada indukcji zupełnej:

Niech ę>(n) będzie funkcją zdaniową, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N. Jeśli:

\) <p{\) zachodzi

2) dla każdej liczby naturalnej u zachodzi wynikanie (p[ tl) => (p[ n +1)

Pytanie 8

Definicja ciągu liczbowego, mono toni czność, ograniczoność:

Ciągiem liczbowym (nieskończonym) nazywamy każdą funkcje f określoną na zbiorze liczb naturalnych. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy f(ⁿ) =^an>^{ne N} a ciąg o wyrazach o„ zapisujemy symbolem (a„ ) lub ai, a* a₃...

Monotoniczność: Mówimy, że ciąg (fl_n) jest:

1)    niemalejący gdy (Vne N)a_nt._l > a_n rosnący gdy (VheN)o_nłl >a„

2)    nierosnący gdy ^ n)a„^ ^a_n malejący gdy e N)a_nM <o_n

Jeśli ciąg jest niemalejący lub nierosnący to nazywa się monofonicznym.

Ograniczoność: Ciąg (fl_n) nazywa się ograniczonym jeśli zbiór jego wyrazów {o_n,ne N} jest zbiorem ograniczonym w zbiorze liczb rzeczywistych. Oznacza to, że (3Ke R)(Vne N)a„ > K («■)

(3Le RXVne N)a_n<L

Warunek (*) można zastąpić przez:

(3M > 0)(Vne N)|a_n|<M