8 M3 SzklarekM ŻurowskiŁ ZAD83

Energia sprężysta odkształcenia dla pojedynczego pręta o długości 1 wynosi:

^ ^— ^zgiń d" ^rozc/ścisk d" V.ścin d" ^skręć

1 f M^{1 2}dx 1 f N²dx 1    1 f M_s²dx

^V ~ 2 J El ⁺ 2 J EA ^+k 2 J GA ⁺2J GI₀

0 0 0 0

Po wykorzystaniu powyższego wyrażenia na energię sprężystą wzór Castigliano przyjmie postać ogólną dla pojedynczego pręta o długości l :

dV    f \M dM N dN , T dT M_s

dPi    J El dP_t EA dPt GA dP^ GI₀

dPil

dx

W przypadku gdy chcemy obliczyć kąt obrotu (kąt ugięcia) belki to obciążeniem zewnętrznym jest Mj. Twierdzenie Castigliano przyjmuje postać:

dV

dMt

= #i

i

I

M dM N El dMt ⁺ EA dM_t

dN , T + k ■ — ■

dT M_c dM,

+ ■

GA dM_t GI₀ dM_t

dx

W przypadku rozwiązywania belek, w których dominujące jest zginanie najistotniejszy jest pierwszy składnik uwzględniający energię zginania. Pozostałe składniki można pominąć i twierdzenie Castigliano przyjmie postać:

l

dV    1 f    dM(x)

U: =-= — I M(x)-dx — U gięcie

¹ dP_t    El J    dP_t    * ^v

o

1

dV    1 f    dM(x)

dj —-= — I M(x)-dx — Kąt uqiecia

¹ dMt    ElJ    dMt

2

o

WAŻNE! W miejscu, w którym wyznaczamy przemieszczenie musi znajdować się siła uogólniona, natomiast jeśli nie występuje, to dodajemy w tym miejscu dodatkową, fikcyjną, siłę, której wartość wynosi 0.