5792343798

Z równania optymalnego sterowania wynika, że u°(t) = sżgn(A₂(i)).

W związku z tym analizujemy rozwiązanie równań sprzężonych przyjmujących w zapisie skalarnym postać

Ai(t) = «A,(t) +vT^:r?ⁱA₂(t),

A2 {t) = — \/l — £²Ai (i) + £A₂(£).

Wyznaczamy rozwiązanie układu równań sprzężonych jako układu stacjonarnych jednorodnych równań różniczkowych

Ai (i) = Cie^sin(y/l —    + C2,

A₂(t) = Cie«¹cos(_v/l - e* + Cj.

Tak więc sterowanie minimalnoczasowe określone jest przez znak funkcji typu cosat (modulowanej przez eksponentę)

u°(t) = sign(Cie^^tcos(y/T—~£*t + C₂).

Wynika stąd, że sterowanie minimalnoczasowe dla oscylatora z tłumieniem własnym przyjmuje wartości +1 lub -1 i zachowuje stałąwartość nie dłużej niż ^ jednostek czasu.

Aby określić krzywą przełączeń sterowania minimalnoczasowego zapisujemy równania stanu dla u{t) = ±1:

ii (t) = -£zi (i) + h(t) = -(zi(t) - £zi(t) ± 1.

i ich rozwiązanie dla u° = +1

2i(£) = y/l - £² + Cie~^cos(y/l - £²t + C₂),

Z2{t) = £ - Cie~&sin(y/l — £²£ + C₂)

oraz dla u° = — 1

2i(£) = — \/1 — £² + C\e

15