Układy równań liniowych7

104

Układy równań liniowych

1    -2

0

0 0

’ -f

-7

26

7

-1

2u'-2 - 3u’3

	’10 0	2 '
•->	0 1 0	3
	.0 0 1	-1.

Stąd wynika, że x — 2, y = 3, z = — 1. c) W tym przykładzie mamy

O CO 1 <N r—*	0'		'12-3 0	o'
0 0 5 1	1	....................	0 3 16	0
0 0 2 1	1	W2 ----* —*	0 0 2 1	1
0 3 16	0		0 0 5 1	1

U!2

’"3

12-30 4 8-71 12-11 -11    4 6

1 2 0 1

0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 0 0

5 1

-3

1

3 1

1 2 0 1

0 0

0

2 1

2

•-!

-3 0 1

0 0 0 1

0

0

1

2

3

2 J

' 1 0 0 0	4'
0 10 0	-2
0 0 10	0
0 0 0 1	1 _

Stąd a; = 4, j/ = —2, z = 0, t = 1.

d) Następny układ pięciu równań będziemy rozwiązywać ściśle według algorytmu Gaussa - Jordana, dlatego nie będziemy zaznaczać wykonywanych operacji elementarnych. Dla przejrzystości będziemy otaczać ramką, ten fragment macierzy, który ulegnie zmianie w następnym kroku. Mamy zatem

	’1 4 2-1 0	3
	0 1 2 0-3	-1
	0-1 5 1 —1	l
	_ 0 — 1 1 2 6	7 _

	ri 4	2-1 0
	0 1	2 0 -3	—
	0 0	1 0 -1
	0 0	3 1 -1
	0 0	3 2 3

"14 2	-1	0	3'
0 1 2	0 -3		-1
0 0 1	0 -1		0
0 0 0	1	2	2
.000	2 6		6.
'14 2	-1	0	3'
0 1 2	0 -3		-1
0 0 1	0 -1		0
0 0 0	1	2	2
.0 0 0	02		2
'14 2 0 1 2 0 0 1 0 0 0	-1 0 0    -3 0 -1 1    2
0 0 0	0	1	1

"1	0	0	0	0	r
0	1	0	0	0	0
0	0	1	0	0	1
0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	1	1

Przykłady

105

Rozwiązaniom tego układu równań są liczby x = l,y = 0, z = 1, s = 0,t = 1. Można przy tym zauważyć, że szukanie rozwiązania ze wzoru Cramera byłoby bardzo pracochłonne. Również obliczenie macierzy odwrotnej wymagałoby większej ilości rachunków.

•Przykład 4.14

Stosując „metodę kolumn jednostkowych” rozwiązać podane układy Cramera:

b)

IC	+	y +	2z +	31 =	1
co	-	V -	z —	10 C-S- 11	-4
2x	+	3 y -	z —	t =	-6
X	+	2 y +	co K' 1	t =	-4

{2x    —    y    +    z    =    1

—4x    -    12y    +    z    =    2    ;

3:e    -f-    Sy    -t-    z    —    3

Sx    +    y    +    s    -f-

x    y    -j-    3z    ~r    2s

2x    -ł-    2y    -j-    z    -h    s    +

x    +    2 y    -    z    -    s    +

■y + 2z + 2s

21

3t

t

Rozwiązanie

«Metoda kolumn jednostkowych” jest praktyczną wersją metody eliminacji Gaussa -Jordana. Polega ona na odpowiednim przekształceniu macierzy rozszerzonej układu. W Przypadku układów Cramera celem postępowania jest doprowadzenie wszystkich kolumn macierzy układu do postaci jednostkowej (tzn. z jedną jedynką i resztą zer) tak, aby jedynki w poszczególnych kolumnach znajdowały się w różnych wierszach. Dla układu Ctamera z n niewiadomymi metoda ta wymaga n kroków, gdyż w jednym kroku przekształca się ostatecznie całą kolumnę. Kolejność przekształcanych kolumn oraz położenie końcowych „jedynek jest dowolna, przy czym praktycznie jest do przekształcenia