Układy równań liniowych
4

118

c)

' 5x - 3y — z 2x + y — z 3x - 2y 4- 2z x — y — 2z

Układy równań liniowych

{x - y + 2z — t =    1

2x - 3y - z + t = — 1 ; x + 7 y    - t = 4

( x — 3y + 2z = 7 e) < x    — t = 2

I -x - 3y + 2z + 2t = 3

4.10

Wskazać wszystkie możliwe zbiory niewiadomych, które mogą być parametrami określającymi rozwiązania podanych układów równań liniowych:

a)

x — y + z 2x + 2y — 2z 3x + y - z

-1

3

2

X + 2y + 3 z + 4i = — 1 b) ^ — x + 8y + 11 z + 12i = 5 2 x — y — z    = —4

{x - 3y + z - 2s + t = -5 2x - 6y — 4s + t = -10 2 z    4- t —    0

4.11

Określić liczby rozwiązań podanych układów równań liniowych w zależności od parametru rzeczywistego p:

a)

c)

(p + l)x + (2 -(1 - 3p):r + (p -

px + y + 2z x + py + 2 z x + y + 2 pz

p)y = p i )y = -6

= i = i ;

= i

b)

d)

(p-	■f 1)X	-	y	+	pz
(3	-p)x	+	4 y	-	pz
	px	+	Z* CO
2x	+ py	+	pz	+	pt
2x	+ 2 y	+	pz	+	pt
2x	+ 2 y	+	2z	+	pt
2x	+ 2 y	+	2z	+	21

= -3

x

(p -    2)y    -    2pz    =    4

e) {    px    +    (3 -    p)y    +    4z    =    1

(1    + p)x    +    y    +    2(2    - p)z    =    7

4.12

W wytwórni montuje się wyroby A, B, C, D, E z czterech typów detali a, b, c, d. Liczby detali wchodzących w skład poszczególnych wyrobów podane są w tabeli

	A	B	C	D	E
a	1	2	0	4	1
b	2	1	4	5	1
c	1	3	3	5	4
d	1	1	2	3	1

Zadania

119

a)    Czy można obliczyć, ile ważą wyroby D i E, jeżeli wyroby A, B, C ważą odpowiednio 12, 20 i 19 dag. Podać znalezione wagi.

b)    Ile ważą detale o, b, c, jeżeli detal d waży 1 dag?

Rozwiązać

podane układy równań metodą eliminacji

2x	+	3 y		1
3x	+	V		0 ^;
3x	+	V	■	z	—	-i
X			+	2z	=	-6 ;
		3 y	+	2 z	=	0
X	+	y	+	V,	+	t =	1
2x	+	2 y	+	Z	+	t =	0
3x	+	2 y	+	3 z	+	21 =	3
6x	+	4 y	+	3 2	+	21 =	2

Gaussa - Jordana:

	f X	+	y				1
b)	*	+	2 y	-	Zz -		3
	{ 2x	+	4 y	+	z =		1
	f 2x	+	3 y	+	2z	= 1
d)	3x	+	4 y	+	2z =	= 2
	[ 4x	+	2 y	+	3z =	= 3
	X	—	2 y		+	3s	+	t =	1
	2x	-	3y	+	z +	8s	+	21 =	3
0 <	x	-	2 y	+	z +	3s	-	t =	1
			y		+	3s	u.	51 =	0
	X	-	2 y		“T	5.s	+	81 =	-1

	’ 5x	+	2y — 2z	=	5
^a)	3x	+	y + 2 z	=	1	?
	. ^2x	+	3 y + 2z	-	5
	' 2x	+	y + z		+	t
			y + z
c) <	2x	+	■y + z +	s
			y + z +	s	+	t
	X		+ z		+	t

4.14

Stosując „metodę kolumn jednostkowych” rozwiązać podane układy Cramera:

		' x-2x -
0		X + X + " 2x +
0		2x +
o ;	d) <	3x
4 0		2x +

2 y	+	z	-	t =		-4
y	-	z	+	t =		1
y	+	2z	-	t =		5	>
y	-	z	+	t =		4
3 y	+	2z			-	t	= 3
y	+	z	+	2 s	+	31	= 6
	-	z	+	s	+	t	= 3
y			+	4 s	+	t	= 1
y	”T	z	-	2 s	+	51	= 8

4.15

Stosując metodę eliminacji Gaussa - Jordana rozwiązać podane układy równań:

{x - 2y + z - 4 x + y + z = 1 . 2x - 3y + 5^ = 10 ’ 5x - 6y + Sz = 19

(    x    +    2y    +    z    +    t =    7

b)    <    2x    —    y    —    z    +    At —    2    ;

I    5x    +    by    +    2z    +    7t =    1

{x    —    y    +    z    —    2s    +    t    =    0

Zx    +    4y    -    z    +    s    4-    3t    =    1

a;    -    8y    +    5z    —    9s    +    t    =    -1

x    + 2 y    +    3 z    +    t    —    1

^c) <

2x    + 4 y    —    z    +    2t    =    2

3x    + 6y    +    10z    +    3t    =    3

x    + y    +    z    +    t    =    o