Układy równań liniowych
4

118

c)

’ 5x — 3y — 2 _k 2x + y - z 3x - 2 y 4- 2 z „ x - y - 2z

Układy równań liniowych

{x    -    y    4-    2z    —    i    =    1

2x    -    3y    -    z    +    t    =    -1

x    4-    7 y    -    i    =    4

{x — 3y + 2z =7 .X    - t = 2

—x — 3y + 22 4- 2t = 3

Wskazać wszystkie możliwe zbiory niewiadomych, które mogą być parametrami określającymi rozwiązania podanych układów równań liniowych:

{x — y + z = — 1 2x + 2y — 2z =    3 ;

3 x + y — z =    2

{x + 2y + 3z 4- 4i = — 1 -x +    8y    +    112    4- 12t =    5    ;

2x -    y    — z    = -4

)x — 3y + z — 2s + t = —5 2x - 6y — 4s + t = -10 22    4 1 ⁼    0

4.11

Określić liczby rozwiązań podanych układów równań liniowych w zależności od parametru rzeczywistego p:

(p + l)x - y + pz -    1

a)

c)

(p + l)x + (2 -p)y = p (1 - 3p)x + (p - l)y = -6

px + y + 2z = 1 x + py + 2z = 1 ; x + y + 2 pz = 1

b) ^ (3 — p)x + 4j/ - pz = -4 ;

px + 3y = —3

2x 4- py 4- pz + pt = 1

. . 2x 4- 2y 4- pz 4- p£ = 2

' ' 2x 4- 2p 4- 2z 4- pt = 3 2x 4- 2y 4- 2z 4- 2£ = 4

x    +    (p - 2)y    -    2pz    =    4

e) <(    px    +    (3 - p)y    +    4z    =    1

(1    + p)x    +    y    +    2(2    - p)z    =    7

4.12

W wytwórni montuje się wyroby A, B, C, D, E z czterech typów detali a, b, c, d-Liczby detali wchodzących w skład poszczególnych wyrobów podane są w tabeli

	A	B	C	D	E
a	1	2	0	4	1
b	2	1	4	5	1
c	1	3	3	5	4
d	1	1	2	3	1

a)    Czy można obliczyć, ile ważą wyroby D i E, jeżeli wyroby A, B, C ważą odpowiednio 12, 20 i 19 dag. Podać znalezione wagi.

b)    Ile ważą detale a, b, c, jeżeli detal d waży 1 dag?

4.13

Rozwiązać podane układy równań metodą eliminacji Gaussa - Jordana:

2x	+	3 y		1
3x	+	V		0 ’
3a:	+	y	■	z	—	-1
X			+	2 z	=	-6	l
		3 y	+	2z	=	0
X	^—	y	+	z	+	t =	= 1
2x	+	2 y	+	z	+	t =	• 0
3x	+	2 y	+	3z	+	u ■M Cl	= 3
6x	+	4 y	+	3z	+	21 =	: 2

d)

b)

X	+	y				1
X	+	2 y	-	3z -		3
2x	+	Ay	+	z -		1
2x	+	31/	+	2 z =	= 1
3x	+	Ay	+	2z =	= 2	ł
4x	+	2 y	+	3z --	= 3
X	—	2 y		+	3s	+	t =	1
2x	-	3 y	+	z +	8s	+	21 -	3
X	-	2 V	+	z +	3s	-	t =	1
		y		+	3s	u.	51 =	0
X	-	2 V		+	5s	+	81 =	-1

114.14

Stosując „metodę kolumn jednostkowych” rozwiązać podane układy Cramera:

5x

+

2y — 2z

_

5

' X

-

2 y

+

z

-

t

-4

3.T

+

y + 2 z

1

^b>

2x

—

y

—

z

+

t

1

2x

+

3 y + 2z

=

5

X

y

+

2z

—

t

5 ’

{ X

+

y

—

z

+

t

4

2x

+

y + z

+

t

= 0

' 2x

+

3 y

+

2z

—

t =

3

y + z

= 0

2x

+

y

+

z

+

2s

+

3i =

6

2x

+

y + z +

S

= 0 ;

d) -

3x

-

z

+

s

+

t =

3

y + z +

s

+

t

= 4

y

+

4s

T“

t =

1

X

+ z

+

t

= 0

2x

"l

y

+

z

-

2s

+

51 =

8

j 4.15

Stosując metodę eliminacji Gaussa - Jordana rozwiązać podane układy równań:

{x - 2y + z = 4 x + y + z = l . 2x - 3y + 5z = 10 ’ 5x - 6y + 8z = 19

j x + 2y + z + t = 7 b) < 2x - y - z + At =2 \ { 5x + 5y + 2z + 7t = 1

^c)

d)

x + 2y    +    3 z    +    t    =    1

2x + Ay    —    z    +    2t    =    2

' 3x + 6y    +    10z    +    3t    =    3

x + y    +    z    +    t    =    o

x —    y    +    z    -    2s    +    t    =

3x +    4y    -    z    Ą.    s    -I-    31    =

^x -    8y    +    5z    -    9s    +    t    —