080

5. Estymacja

5.1. Estymacja punktowa

5.1.1. Własności estymatorów

Niech 0 będzie pewnym parametrem rozkładu cechy X w populacji generalnej. Przez Z_n = 6 oznaczymy estymator tego parametru, czyli jego statystyczne oszacowanie. Na ogół jest wiele estymatorów dla danego parametru. O tym, który z nich wybrać, będą decydowały ich własności.

Własności Będziemy mówić, że statystyka Z_n jest estymatorem nieobciąionym parametru estymatorów Q_j gdy EZ_n = 0. Mówimy, że estymator Z_n jest zgodny, gdy

n—►<»

limPr(|Z„-0| <£) = 1

dla każdego £ > 0. Ze słabego prawa wielkich liczb wynika, że nieobciążony estymator parametru 0 o wariancji dążącej do zera, gdy wielkość próby n —»oo, jest zgodnym estymatorem parametru 0.

Mówimy, że Z_n jest asymptotycznie nieobciąionym estymatorem parametru 0, gdy spełnia warunek

lim EZ_n = 0.

/7—>oo

Z powyższych określeń wynika, że X jest estymatorem nieobciążonym wartości oczekiwanej, a ze słabego prawa wielkich liczb wynika, że jest również estymatorem zgodnym, bo D²X — a²/n —> 0, gdy n —>

Uwaga. Jeżeli mamy dwa nieobciążone estymatory parametru 0, to lepiej wybrać estymator o mniejszej wariancji, bo będzie statystycznie lepiej szacować ten nieznany parametr.

Przykład. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [a,a+ 1]. Otrzymano n niezależnych obserwacji tej zmiennej losowej.