8 (13)

Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa

139

_fse Ci» C2U

¹ " v(x₁yu(x₂)

ma żądane własności.

Posiadamy teraz niezbędne środki do dowodu pochodzącego od Stone’a uogólnienia twierdzenia Weierstrassa.

7.32. TWIERDZENIE. Niech sś będzie algebrą funkcji rzeczywistych, ciągłych, określonych na zbiorze zwartym K. Jeżeli si rozdziela punkty zbioru K i nie znika w żadnym punkcie zbioru K, to dl,jednostajne domknięcie algebry sd, zawiera wszystkie funkcje rzeczywiste ciągle na K.

Dowód podzielimy na cztery kroki.

Krok tf Jeślif e dl, to \f\e k

Dowód. Niech

(52)

a = sup |/(x)| (xeK)

i niech będzie dana liczba e> 0. Na mocy wniosku 7.27 istnieją liczby rzeczywiste c_u,.., c_m takie, że

(Ó3)

i — 1

Funkcja g = £ ej' jest elementem zbioru dl, ponieważ dl jest algebrą. Na mocy (52) i (53)

Ponieważ algebra dl jest jednostajnie domknięta, więc wynika stąd, że |/| e dl.

Krok 2. Jeżeli f e dl ig e dl, to max(/, g) e dl i min (f,g)e dl. Funkcja h = max(/, g) jest zdefiniowana w następujący sposób:

funkcję min (f, g) określa się w sposób analogiczny.

Dowód. Twierdzenie wynika z faktu wykazanego w pierwszym kroku i z tożsamości

max(/, g) « ł(f+0)+W ~9\, min (f,g) = W+d)-ł\f-g\.

Wynik ten można oczywiście metodą indukcji uogólnić na przypadek dowolnej skończonej liczby    j    Mamy więc, żemax(/_u    także należą do ».

Krok 3. Niech będą dane funkcja rzeczywista ciągłaf określona na K, punkt xeKi liczba e > 0. Istnieje wtedy funkcja g_xe& taka, że gjx) * f(x) i

(54)

gM >f(t)-e    (teK).