8 (11)

137

Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa

zatem Q„-*0 jednostajnie na przedziałach S < |x| < 1. Określmy teraz

(51)

P„{x) = | f(x+t)Q_n(t)dt (0 ^ x < 1).

- 1

Z naszych założeń o funkcji/ wynika za pomocą prostej zamiany zmiennych, że

a ostatnia z całek jest, co łatwo stwierdzić, wielomianem zmiennej x. W takim razie {P„} jest ciągiem wielomianów, przy czym ich współczynniki są rzeczywiste, jeżeli funkcja / jest rzeczywista. Do e > 0 dobierzemy takie 5 > 0, aby nierówność |y—x| < <5 pociągała \M-f(x)\ < |e.

Niech M = sup |/(x)|. Z (47), (50) i z faktu, że Q„(x) > 0 wynika, że przy 0 < x < 1

-1

lP„(x)-/(x)| = J U(x+t)-f(xj]Q_n(t)dt < J \f(x+t)-f(x)\Q„(t)dt <

< 2M f Q_n{t)dt+łe ] Q_n {t)dt+2M jQ_n(t)dt < 4M^(l-<5²)"+}£ <e,

s

-1    -5    ó

jeżeli tylko n jest dostatecznie duże, co kończy dowód.

Jest rzeczą pouczającą naszkicować wykresy Q„ dla kilku początkowych wartości n; zauważmy też, że wykorzystaliśmy w dowodzie ciągłość jednostajną funkcji/dla uzyskania jednostajnej zbieżności {P„}.

W dowodzie twierdzenia 7.32 nie będzie nam potrzebne twierdzenie 7.26 w całej ogólności. Wykorzystamy tylko jego specjalny przypadek, który sformułujemy jako wniosek.

7.27. WNIOSEK. Dla dowolnego przedziału (.—a, a} istnieje ciąg wielomianów {P„} taki, że P„{0) = 0 i lim P„(x) = \x\ jednostajnie na <—a, a).

Dowód. Na podstawie twierdzenia 7.26 istnieje ciąg {P*} wielomianów o współczynnikach rzeczywistych zbieżny jednostajnie do |x| na przedziale <—a, a). W szczególności PJ(0)-*0 przy n-» oo. Wielomiany

PJix)=P*(x)-P*jO) («= 1,2,3....)

mają wymagane własności.

Postaramy się teraz wskazać te własności wielomianów, z których korzystaliśmy przy dowodzie twierdzenia Weierstrassa.

7.28. Definicja. Zbiór sf funkcji zespolonych określonych na zbiorze E nazywa się algebrą, jeżeli dla dowolnych dwu funkcji fi g należących do sł, (i )f+g e $4, (ii )fg e sś oraz (iii) dla dowolnej stałej c i funkcji fes/, funkcja cf e s/. Inaczej mówiąc zbiór s/ jest domknięty ze względu na dodawanie, mnożenie i mnożenie przez liczby.

Będziemy rozpatrywać także algebry funkcji rzeczywistych; wtedy w warunkach (iii) stała c musi być oczywiście rzeczywista.