101

r

7.1. Rozkłady dwuwymiarowe    101

Niech teraz jc € [1 /2,1). Wówczas

JC

fxM =    / 2dy=\.

JC—1/2

Zatem

, _M _ Jl dla xe (0,1),

^W [O dla jc ^ (0,1)

jest gęstością rozkładu jednostajnego na (0,1).

Analogicznie wyznaczamy gęstość brzegową f_Y(y) zmiennej losowej Y. Dla y £ (0,1/2) mamy

oo    >'+1/2

fy{y) = I f(x,y)dx= I 2dx=\.

Dla y € [1/2,1) mamy

oo    y-1/2    1

f_Y(y) = I f(x,y)dx= j 2dx+ j 2dx= 1.

0    'y

Ostatecznie

fy(y)

1 dla y€ (0,1), 0 dla yi (0,1)

jest gęstością rozkładu jednostajnego na (0,1).

b)    Zmienne losowe X i Y typu ciągłego są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy /(x,y) = fx(^x)fr(y) ^dla każdego (x,y) e K¹. Ponieważ /(1/2,1/4) = 2, a +(1/2)+(1/4) = 11 = 1, więc X i Y nie są niezależne.

c)    Do wyznaczenia regresji pierwszego rodzaju potrzebna będzie znajomość gęstości warunkowych. Mamy

f(*,y)

fx(^x)

/(>+) =

I x)dy,

1

dla 0 < x < 0.5 A (0 ^ y ^ x Vx +0.5 ^ 1), < 2 dla 0.5 < x < 1 Ax —0.5 < y < x,

0 poza tym.

Regresja pierwszego rodzaju Y względem X = x jest warunkową wartością oczekiwaną

m₂(x) = E(7|X =x)