46 (396)

Rozwiązanie

a) Niech z = z + ty, gdzie z, y € R- Wówczas

/(z) = i(z + ty)² + (* + ty) = (-2xy + z) + i (x² - y² + y) .

Stąd

Re (iz² + z) = «(r, y) = -2xy + z, Im (tz² + z) = v(z, y) = z² - y² + y.

b) Niech z ^ 0 i niech z = x + «y, gdzie x,y ę R. Wtedy mamy

\ _ _L _ **    _    ~    x² - 2zyt - y²

z² (zż)²    (z² + y²)²    (z² + y²)²

Zatem

1    ,    x² — y²    ,1    ,    .    —2xy

Re —r    = u(x, y)    = > , , ..,'2    ^{oraz Im} 3    = "(*. V)    =

Z²    (z² + y²)²    Z^{2 V}    (x² + y²)²

c) Niech z = z + ty, gdzie x,y € R- Wówczas

_ i* _ -•(*+•») _ •*-» _

/(*) = «" =

= e~^v (cos x -f i sin x) .

Tak więc

Re t ‘ = u(x, y) = e~^v cos x oraz Im e‘* = t>(x, y) = e^_w sin x. d) Niech z = z + ty, gdzie x,y £ R. Mamy

/(z) = cos z =

e'* + e~‘*    _e^,(*+'v) _{+ e}-t(*+t»)

2 2 e^e^-* + e~'^ze^y _ e^_w (cos x -f i sin x) + e^y (cos x — i sin x)

_e-» ą_ _e» _    _e-» _ _ev

= cos x----(- i sin x---= cos x ch y — i sin x sh y.

Tak więc

Re cos z = u(x, y) = cos z ch y oraz Im cos z = v(x, y) = — sin x sh y.

ia

UMÓW

Dla jakich liczb zespolonych z funkcja e^z przyjmuje wartości rzeczywiste ujemne? Rozwiązanie

Szukamy tych liczb zespolonych z, dla których spełnione są warunki

Im (e^x) = 0 oraz Re (e*) < 0.

Niecli z = x + «y, gdzie z, y £ R. Korzystając ze wzoru

e

= e*(cos y •+• tsin y),

Drugi tydzień - przykłady

101

podane warunki można zapisać następująco:

e¹ sin y = 0 oraz e¹ cos y < 0.

Ponieważ e¹ > 0 dla każdego i £ R, więc

e¹ sin y — 0 <=> sin y = 0 <=> y = kx, gdzie k £ Z.

Zauważmy teraz, że cos(kx) = —1 dla k nieparzystych i cos(fcir) = 1 dla k parzystych. Zatem oba warunki są spełnione dla y = (2n — l)x, gdzie n £ Z, oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych x. Tak więc e^z jest liczbą rzeczywistą ujemną dla liczb zespolonych postaci

z = z + (2n — l)xr, gdzie x £ R, n € Z.

Na płaszczyźnie zespolonej są to liczby leżące na prostych y = (2n — l)x, gdzie n £ Z.

Przykład 2.5

Rozwiązać podane równania:

a) e^2z = 2i;    b) e‘ = e^,z; c) cos z = —2i.

Rozwiązanie

a) Mamy

e^2z = 2t -i=> 2z = Log (2r).

Ponieważ (zobacz Przykład 2.1 .c)) Log (2t) = ln 2 + —i + 21xi, gdzie k £ Z, więc

2z = ln 2 +    + 21x1,

skąd

z = ^ln2 + t^j + kx^ , gdzie k £ Z.

b) Korzystając z własności funkcji wykładniczej

e^z‘ =    +=> zi = zz + 2fcxt, gdzie k £ Z,

mamy

e* = e^,z <=+ z = iz + 2kxi, gdzie k £ Z,

<=> (1 — i)z = 2kri, gdzie k £ Z,

<==> z = y—^ — (—¹ + O**. gdzie k £ Z.

c) Równanie dane w tym przykładzie rozwiążemy dwoma sposobami. I sposób. Korzystamy z definicji funkcji cos z. Wtedy

+ e

= —2i •£=>■ e¹

+ e ¹¹ = —4i <=> e²*¹ + 4:e'

+ 1=0.

Podstawmy e“ = w. Wówczas otrzymamy równanie kwadratowe

to² + 4«u» +1 = 0.