4511

«vivivniHiiiy

siopua < 2 Niech pohukiwana icnli ma posiać H(x) = az³ + bz + c, gdzie a.b,c € R. Wtedy P(z) ■ /(*) • Q(z) + R(*). gdzie / jest ilorazem z dzielenia tych wielomianów.

Zatem

^,# + s^J-2» /(*)• (z*-4x) +az’ + bz + c

dl* bidefo r £ G Podstawiają w iej tożsamości pierwiastki wieloinfanu z* — 4x, tj. baby ti = 0. /j - -2. ej = 2, otrzymamy okład równań

1026 m4*-2b + c, 1026 = 4a + 2* + c.

stopnia $ I. Niech poszukiwana reszta ma postać R(x) = az + b, gdzie a,b € R. Wtedy Pff) t= l]i) Q(r) + P(r), gdzie / jest ilorazem z dzielenia tych wielomianów. Zatem

z* + 5z^J + 1 ar /(z) (z² - 2r + 2) + az + h

dla każdego * € C. Ponieważ pierwiastki wielomianu z¹ - 2r + 2, tj. liczby *i = I + i, xj = I-i, nie są liczbami rzeczywistymi, więc w ostatniej tożsamości wystarczy podstawić tylko jedea i tych pierwiastków np. fi- Wtedy otrzymamy równość

(1 + .)* + 5(1 + if + 1 = a(l +«) + b.

{

St*d 7+ IOi ■ (a+kj+ai. Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron tej równości otrzymamy układ równań

a + b= 7, a =10.

Rozwięiaaiem tego nkładu równań jest para a = 10, b = —3. Zatem reszta z dzielenia tych wielomianów ma postać lOr - 3.

Zadania 0 Zadanie 4.1

Obliczyć iloczyny podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych:

a)    P(x) = t^Ą - 3l³ + x - 1. Q(_x) = x² - z + 4;

b)    W(i) = #+5z^J - u+3, V(z) = (1 + i)z - 2.

0 Zadanie 4.2

Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q, jeżeli: ») lff*l - 2*⁴ - 3r³ + 4x* - 5* + 6. Q(x) = z² - 3x + 1; b)P(x) = x^l9-\6, <?(x) = x<+2; e) #) = 2⁵-?³-fel, Q(z) = {z-if.

0 Zadanie 4.3

Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: i)*^J+x*-4r-4;    b)3*^s-7*¹ + 4*-4_i

t) p- 2*« - 4*> + 4*^J - 5* + 6; <l) t' + 3x³ -z’+ 17* + 89.

Czwarty tydzień - odpowiedzi i wskazówki

0 Zadanie 4.4

Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów: ii) x* - j** -1* - b) 4x⁴ + 4x* + 3x^a - z -1; c)4*³+ * - i;    <*) x* + ix* - *² + Ix -1.

O Zadanie 4.5

Znaleźć pierwiastki podanych równań kwadratowych i dwukwadratowych: a) i^a - 4z + 13 = 0; b) z? - (3 - 2i)z + (5 - 5i) = 0; c) z⁴ + 8z^a + 16 = 0; d) z⁴ - 3iz^a + 4 = 0.

O Zadanie 4.6

Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów rzeczywistych, znaleźć ich pozostałe pierwiastki:

a)    H'(x) = x⁹ — 3v/5x* + 7*- 3y/2, x, = y/2 + i;

b)    W(x) = x⁴ - 2r³ + 7x^a + 6x - 30, x_x = 1 - 3i; ć). W(x) = x⁴ - 6z³ + 18x^a - 30x + 25, x_x = 2 + i;

d) W{x) = x⁶ - 2x^s + 5x⁴ - 6x³ + 8x^a - 4x + 4, x, = i, x₃ = -v/2i;

«) W(z) = x⁶ - 6x* + 18x⁴ - 28r³ + 31z² - 22x + 14, x, = 1 - i. x₃ = 2 - y/3L

O Zadanie 4.7

Nie wykonując dzieleń znaleźć reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany jeżeli:

a) P(z) = x⁸ -3x³ + 5*.    Sc) = x² - x - 2;

h) P(x) = x¹⁴ - 4x^l° + x^a + V2x,

c)    P(x) = x³⁰ + 3x^M + 2,

d)    P(x) = x^ł0D + 2x⁶¹ - 3x² +1,

e)    P(x) = x⁵ + x - 2,

f)    P(x) = x⁶ + x - 50,

Q(x) = x* + 2;

Q(x) = x³ + 1;

Q(x) = x²- 1;

Q(x) = x²-2x + 5;

Q(z) = x³ + 8.

O Zadanie* 4.8

Liczby zespolone z, z², z³ są pierwiastkami wielomianu stopnia 3 o współczynnikach rzeczywistych. Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości liczby z.

Odpowiedzi i wskazówki

4.1    a) P(x)- Q(x) = x⁶ - 4x⁵ + 7z⁴ - 1 lx³ - 2*^a + 5* - 4; b) W(z) ■ V*(r) = (i + j)_x« ₊ (3 + 5i)*³ - (9 + i)*⁷ + (3 + 5ś)z - 6.

4.2    a) Iloraz 2x^a + 3* + 11, reszta t dzielenia 25x - 5; b) Iloraz x^,a - 2r⁵ + 4x* _ s reszta z dzielenia 0; c) Iloraz z² + 3ix — 7, reszta z dzielenia - 13iz^a — 18z +1 + 7,*.