54880

2.1. Niech A = {1, ...,n} oraz S„ := (f: A —> A, f odwracalne}. Wtedy (S_a*) gdzie • jest składanie odwzorowań jest grupą. Nazywamy ją grupą permutacji zbioru n-elementowego A. Niech a, b e A oraz a * b. Transpozycją nazywamy permutację X € S„ zdefiniowaną następująco

Ib X = a

a X = b. Permutację x oznaczamy <a,b>.

X X€{a,b}

2.2. TWIERDZENIE. Każdą permutację ze zbioni S„ można przedstawić jako złożenie skończonej liczby transpozycji.

TWIERDZENIE. Każdą transpozycję można przedstawić: jako złożenie nieparzystej liczby transpozycji wyrazów sąsiednich ( <k,k+l>)

2.3. LEMAT. Niech P: S_n —> Z, P(d) := _|sjL    Wtedy dla dowolnej permutacji

<7 i dowolnej transpozycji rze zbioru S„, P(<r*r) = - P(o).

TWIERDZENIE. Niech cre S_n. Jeśli <7 =    oraz d = T,    , gdzie T[,...,T_r,T_lt...,T_s

są transpozycjami z S„, to (-1)' = (-1)‘.

DEFINICJA. Niech <7 e S„ i <7 = X,*... »r_r gdzie xj,..., T_r są transpozycjami z S,*. Liczbę (-ly nazywamy makiem permutacji (7 i oznaczamy sgn<7. Jeśli sgn<7 = 1 to permutację o nazywamy permutacją parzysta. Jeśli sgn<7= -1 to permutację C7nazywamy permutacją nieparzystą,

3. LICZBY ZESPOLONE

3.1. DEFINICJA Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C. Mamy zatem C:= (z=(x,y): x,y e R}. Niech Zi = (xi,yi), Z2 = (x*y2) będą liczbami zespolonymi.

Sumę liczb zespolonych określamy wzorem: Zi + Z2 := (xi ⁺ X2, yi ⁺ y2).

Iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem: Zi • z₂ := (X|X2 - yiy* Xiy2 ⁺ X2yi).

3.2. FAKT (Własności działań w zbiorze liczb zespolonych). Niech z = (x,y) oraz Zi.Z2, Zjbędą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy

L dodawanie liczb zespolonych jest przemienne, tzn. Zi + Z2 = Z2⁺ z$

2 dodawanie liczb zespolonych jest łączne, tzn. (zi + Z2) + Z3 = Zi + (Z2 ⁺ Z3);

3. liczba zespolona 0:= (0,0) jest elementem neutralnym dodawania, tzn. 0 + z =z;

4. dla każdej liczby zespolonej z istnieje liczba -z := (-x,-y), taka że z + (-z) = 0;

5. mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, tzn. Zi-z₂ = z₂ z_L

6. mnożenie liczb zespolonych jest łączne, tzn. (zi*z₂)-Z3 = Zr(z₂-Z3);

7. liczba zespolona 1 := (1,0) jest elementem neutralnym mnożenia, tzn. z-1 - z;

2