82287
Lemat 2.2 Niech (Vn 6 A/*) O < afl < fcfl oraz lim bn = 0. Wtedy lim an = 0.
n—oo n—oo
Dowód: Z założeń wynika, że
(Ve > 0)(3n,)(Vn > n€) |6n| < e
Ponieważ |an| < |6n|, więc
(Ve > 0)(3w*)(Vn > ne) |a„| < £ a to oznacza, że lim an = 0.
n—oc
9
Twierdzenie 2.3 (O trzech ciągach) Niech (Vn £ Nf)an < bn < c„ oraz lim an = lim cn = a . Wtedy lim bn = a.
n—oc n—oo n—oc
Dowód: Z założeń i twierdzenia 2.1 mamy
(Vn € Ar) 0 < bn - On < c„ - a„ oraz lim (c,, - an) = 0
n—oc
Z lematu 2.2 wynika, że lim (6„ - o„) = 0, czyli lim 6„ — lim an = a .
n—oc n—oc n—oo
9
Twierdzenie 2.4 Dane są dwa ciągi ograniczone {o,,} i {/»„}. przy czym Jiin_ an = 0.
Wtedy istnieje lim an bn i lim a„ bn = 0.
n—oo n—oc
Przykład 2.2
Przykład 2.3 lim {/n = 1.
n—oc
Dow*ód: Oznaczmy b„ = </n - 1.
n = (l + 6n)n = l +
b
n
Tl
Poniew'aż bn ^ 0 więc n > 1 -f Q)6* • Stąd
2n
n(n-l) " V n(n-l)
Z twierdzenia o trzech ciągach lim b„ = 0. czyli lim y/ń = 1.
9
Przykład 2.4 (Va > 0) lim tfa = 1 .
n—oc
5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
85205 img421 (3) Weźmy ciąg (on), an--. Wtedy wyrazy ane S(0) oraz lim an = O. Ponadto . „granica ciągu zadania Zadania + Rozwiązania Oblicz granicę: lim (n3 — n + 2) n—> oo » lim (4n‘Wniosek Niech A = (,..., vn) oraz B = (w,,..., wn) będą bazami przestrzeni V. Niech v e V, i008 . IERDZENIE Jeśli lim an — a, gdzie a G R oraz lim bu — oo (lub lim bn = —oo), to n—>ooS6300963 przykra0* d) Niech ponadto , / _ i oraz x ń ---dla n € N. Wtedy mamy limImage1633 lim an = g ś=> (Vs >0) (33eN) {Vn > 3)Image1921 x+2 lim x-»( 1 + x +1 = 42 = 16 ponieważ lim x-»0l 1 + X + 1 = 4 oraz lim (x+2) = 2 x-»0Image1926 lim ex +sin2x = » ponieważ ex + sin2x > ex -1 (Vxe R) oraz lim ex -1= » x-»«  Image2012 lim an = + co => lim bn=+<^>Image2013 = — co lim bn = - co => lim anImage2224 lim 1 + —-x-»«l x + 3 x+3 -2y = -2 X + 3 ■» O = lim (1 + y)y =e y^O (e>1) oraz lim x-»«Image2228 lim sgnx= lim 1=1 oraz lim sgnx= lim (-1) = —1.zaś sgn 0 = 0. x-»0+Image3002x Ponieważ lim 2fx-3)2 =0 oraz lim 4fx-3)2=0 to z twierdzeni a o trzechSporządzono wykresy pV=f(p) i odczytano przez ekstrapolację linKpy)--* = 2271 N*m oraz lim<pV)T (więcej podobnych podstron