85205 img421 (3)

Weźmy ciąg (o_n), a_n--. Wtedy wyrazy a_ne S(0) oraz lim a_n = O. Ponadto

. „    n    n-> oo

a_n > 0, więc

1_ 3 '

1 + 2-1

lim f(a_n) = lim

n-+oo    /7—>oo

n n

Bierzemy teraz ciąg (b_n), b_n = —. Bez trudu można zauważyć, że wyrazy b_n e S(O) oraz lim (6„) = O. W tym wypadku

1

lim /(6_n) = lim

n->oo    /i-»oo

n

= -1.

n n

Istnieją więc dwa różne ciągi (a„) i (ó_n), które spełniają warunki: lim a_n = O, jirn^ón = O oraz jim/(a_n) ^ jim f(b_n), co oznacza, że granica funkcji

f(x) = ^ ₊^X2 i'_xj ^w    x₀ = 0 nie istnieje.

Czasami łatwiej jest posługiwać się inną definicją granicy funkcji w punkcie, zwaną definicją Cauchy’ego. Jej konstrukcja będzie trochę podobna do definicji granicy ciągu, znanej Ci z klasy drugiej.

Omówimy najpierw pewien przykład.

Załóżmy, że chcemy wykazać, że lim (3x +1) =4.

W»Żmy w lyrri celu dowolną liczbę /: > O i zbadajmy, dla jakich x wartości funk-i |l f(x) Tx + 1 różnią się (co do wartości bezwzględnej) od liczby 4 (czyli nil granicy) o mniej niż e. Interesuje nas więc, dla jakich x spełniona jest nie-ińwność

|/(x)    41 < e.

Nierówność ta oznacza, że | (3x + 1) - 41 < e.

Ofelmtnla nierówność jest równoważna nierówności

htnlnważ interesują nas tylko argumenty funkcji różne od 1 (w punkcie 1, w klótym obliczamy granicę, funkcja nie musi istnieć), więc x * 1, co jest równoważne nierówności | x - 1 | >0.

tak więc musi być spełniona nierówność O < |x- 1 | <|.

Umączmy ó = - . A zatem stwierdzamy, że dla dowolnej liczby e > O istnieje

laka liczba ó > O (w tym wypadku <5 = - ), że dla dowolnego x, jeżeli tylko

O * |x - 1 | < <5, to |/(x) - 4| < e . Tak będziemy teraz opisywać fakt, Że lim (3x +1) = 4.

(teofnetrycznie możemy ten fakt zinterpretować następująco: dla dowolnego Otoczenia L/(4, e) (na osi OY) istnieje takie sąsiedztwo S(1, S) (na osi 0X), że |nże|| tylko argumenty funkcji należą do sąsiedztwa S(1, ó), to odpowiadające Im wartości funkcji należą do otoczenia U(4, e).

Możemy teraz już podać ogólną definicję.

Niech funkcja / będzie określona w pewnym sąsiedztwie S(x₀) punktu x₀. Granicą funkcji / w punkcie x₀ jest liczba g - co zapisujemy lim f(x) = g wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby e > O istnieje taka liczba S > O, że dla dowolnego x e S(x₀), jeżeli tylko O < |x - x₀ | < 8, to |/(x) - g\ < e.

W zapisie symbolicznym:

lim /(x)    • g o A V    A    (O    < |x x₀ |    < d => \ f(x) g\ < >')■

H >X₀    ^ i - O if*ll S(X„)    '    ^U 1