img420 (4)

Mamy

określona w dowolnym sąsiedztwie S(3). Weźmy dowolny ciąg (x„), którego wyrazy x„ e S(3) oraz lim (x_n) = 3. Wtedy f[x_n) = ^-5x„ + 6

n—>oo    X_n — d

Jeżeli x_n -> 3, to licznik i mianownik ułamka dążą do zera. Otrzymaliśmy symbol nieoznaczony ^ . Aby wybrnąć z kłopotów, rozłożymy licznik na czynniki.

lim f(x_n) = lim

n—>oo    /?->oo

(x_n)²- 5x„ + 6 x„- 3

= |_im(*_n-2)(x_n-3) X_n — 3

- lim

n-*x>

/

4

V3

= 3-2

1,

zatem

lim /(x) = 1.

x—>3^J ' ⁷

Zauważ, że mogliśmy uprościć i x_n - 3 (nie dzielimy przez zero! zatem x„ 3.

AiI <) Dziedziną funkcji / jest zbiór R. Zatem funkcja / jest określona w każdym sąsiedztwie S(-2). Weźmy dowolny ciąg (x„), którego wyrazy x„ e S(-2) oraz

(x — 4

Hm (x„) = -2. Wtedy f(x_n) =    (ponieważ x„ * -2, więc należy

ń    x_n + z

ukor/ystać z pierwszego, „górnego” wzoru w określeniu funkcji /) i możemy obliczyć granicę:

lim (x„) = lim U »•#<

(*„)²-4_

x_n + 2

lim

n->oo

(x„-2)(x_n + 2)_ _|jm X_n + 2 n->oo

4

\-2

= -2 - 2 = - 4.

lak więc lim f(x) =

^r x-l-2

/wióć uwagę, że funkcja, która ma w punkcie x₀ granicę, może być określona W tym punkcie (przykłady a) i c)), albo może tam nie być określona (przykład b)).

h/ndstawimy teraz, jak wykazać, że nie istnieje granica funkcji / w punkcie x₀. / definicji Heinego wynika, że wystarczy znaleźć dwa różne ciągi (a_n) i (b_n), kłńrr spełniają warunki: wyrazy a_n e S(x₀), hm a_n = x₀, wyrazy b_ne S (x₀) nią/ lim b_n = x₀ i prawdziwa jest nierówność lim f(a_n) * lim f(b_n).

/i >f)t,    W r    J    n->00    A7->00

N/YKIAD 2.

X

Wykażemy, że nie istnieje granica funkcji /(x) = _{x +} 2\_x\ ^w P^{unkcie x}o ⁼ O' /rtiiważmy, że funkcja /(x) = ^₂'\x\ J^{est określona w} dowolnym sąsiedztwie *•(()). W samym punkcie O funkcja nie jest określona.