Image05

gdzie v₀ i L są stałymi (L jest szerokością rzeki). Znaleźć:

a)    wartość wektora prędkości łódki względem nieruchomych brzegów,

b)    kształt toru łódki.

1.10.    Łódź przepływa rzekę ze stałą względem wody prędkością u, prostopadłą do kierunku prądu. Prędkość prądu rzeki, której szerokość wynosi L, jest równa zeru przy brzegach i wzrasta liniowo w miarę zbliżania się ku środkowi nurtu, gdzie osiąga wartość u. Znaleźć:

a)    kształt toru łodzi,

b)    odległość x₀, o którą prąd znosi łódź od punktu startu do miejsca przybicia na przeciwległym brzegu.

1.11.    Rozpatrzyć ruch punktu materialnego po jednej z gałęzi paraboli o równaniu y² — 2px, gdy rzut wektora prędkości na kierunek stycznej do wierzchołka paraboli ma stałą wartość v₀. Znaleźć:

a)    równania ruchu punktu,    ^    . y( /,Lf's '

b)    wektor prędkości i jego wartość,

c)    wektor przyspieszenia i jego wartość, ' ^    ^ ^f

d)    składowe wektora przyspieszenia: styczną i normalną, ^ .•

e)    promień krzywizny toru punktu w funkcji czasu,

1) promień krzywizny paraboli w funkcji odległości punktu od stycznej do

wierzchołka.

Przyjąć warunki początkowe: x(0) = 0, y(0) = 0.

1.12.    Punkt materialny porusza się po elipsie o równaniu

/

> IN /l

V ,

/i

■e-f "-£t

x y

~2 + a^Ł

b

= 1,

przy czym x — 0. Stosując metodę różniczkowania równania toru, znaleźć y i y jako funkcje x oraz położenia punktu.

1.13. Ruch punktu wzdłuż osi x jest określony równaniem x² = at² + bt + c, gdzie a, b, c są stałe, a t oznacza czas.

a.    Zbadać zależność przyspieszenia od położenia punktu.

b.    Wyznaczyć zależność, jaka musi zachodzić między stałymi, by ruch był jednostajny i znaleźć prędkość tego ruchu.

1.14. Punkt porusza się po okręgu o promieniu r w ten sposób, że wektor przyspieszenia tworzy stały kąt cc z promieniem wodzącym.

a.    Wyznaczyć zależność prędkości kątowej (p oraz kąta (p od czasu przy założeniu, że w chwili t = 0 (p = a>₀.

b.    Jaką krzywą tworzy hodograf?

1.15. Ruch punktu wzdłuż osi x jest określony równaniem t = ax² + bx -f c, gdzie a, b, c są stałe, a t oznacza czas. Wykazać, że przyspieszenie jest odwrotnie proporcjonalne do trzeciej potęgi odległości od pewnego ustalonego punktu. Wyznaczyć położenie tego punktu.

1.16.    Koło o promieniu r toczy się po prostej. Wyznaczyć tor, po którym porusza się stały punkt P, położony na obwodzie koła. Zbadać ruch tego punktu, w szczególności wyznaczyć przyspieszenia styczne a_s i normalne a_n, gdy:

a)    koło toczy się ze stałą prędkością kątową a),

b)    wartość prędkości obranego punktu jest stała.

p^Ą--< ttfl&Cć-c _

1.17.    Ruch punktu jest określony za pomocą współrzędnych biegunowych r i (p, gdzie:

a    /

C/

y    *-’C_v

■ć Cn

ct

c

AS

(a, b, c, - stałe, t - czas).

n

'•i 4

W

Wyznaczyć wektor prędkości tJ i wektor przyspieszenia a tego punktu oraz obliczyć kąt zawarty między tymi wektorami.

£ <

1.18. Ruch punktu dany jest układem równań:

x = ct cos (bt), y = ct sin (bt\

gdzie b i c są stałymi dodatnimi. Znaleźć w biegunowym układzie współrzędnych:

a)    równania ruchu punktu,

b)    równanie toru punktu,

c)    wartość wektora prędkości punktu,

d)    wartość wektora przyspieszenia punktu,

e)    składowe wektora przyspieszenia - styczną i normalną,

f)    promień krzywizny toru punktu jako funkcję położenia punktu.