Image06

10

1.19. Ruch punktu na płaszczyźnie dany jest równaniami:

x — ht²,

y =

ct²,

gdzie b i c są stałymi dodatnimi. Znaleźć w biegunowym układzie współrzędnych:

a)    ruch punktu,

b)    prędkość i przyspieszenie.

1.20. Znaleźć tor, po którym w płaszczyźnie pionowej xy leci samolotem ponaddźwiękowym pilot, który chce, aby jego koledzy stojący na lotnisku usłyszeli w tym samym momencie huk silnika z całego toru. Podać współrzędne końca toru. Wartość prędkości samolotu jest stała i równa v.

W chwili t = 0 samolot znajdował się w odległości r_Q od punktu, w którym stoją koledzy pilota, a wektor r_a tworzył kąt a z płaszczyzną poziomą.

s = kąt

1.21. Mrówka porusza się po krzywej, której długość s dana jest wzorem s_Q exp (ct), gdzie s₀ i c - stałe. Wiedząc, że wektor przyspieszenia a tworzy stały a ze styczną do toru w każdym punkcie, znaleźć wartość:

a)    prędkości,

b)    przyspieszeń: stycznego i normalnego,

c)    promienia krzywizny toru jako funkcji długości łuku krzywej.

1.22.    Punkt materialny porusza się po spirali hiperbolicznej, dla której r = c/q>, gdzie c jest stałą, przy czym wartość kąta cp jest liniową funkcją czasu. Znaleźć odległość r punktu od środka spirali jako funkcję czasu. Przedyskutować poszczególne przypadki.

1.23.    Znaleźć rozkład prędkości i przyspieszeń dla wahadła matematycznego przy założeniu drgań harmonicznych. Zadanie rozwiązać w dwóch układach współrzędnych - kartezjańskim i biegunowym.

1.24. Sprinter przebiegł na zawodach drogę s w czasie t. Zakładając, że miejscowość, w której odbywały się zawody, leży na szerokości geograficznej <p, a dany fragment bieżni tworzy kąt 0 = 0 z płaszczyzną południka ziemskiego, znaleźć:

a)    przyspieszenie Coriolisa działające na sprintera,

b)    odchylenie od kierunku prędkości początkowej zmierzone na końcu toru. Bez wykonywania rachunków oszacować liczbowo wartość odchylenia, jeżeli

s = 100 [m], t — 10 [s], (p = 30°. Przyjąć, że okres obrotu kuli ziemskiej T = 86 000 [s].

1.25. W celu sprawdzenia odchylenia ku wschodowi ciała spadającego pionowo Reich wykonał w r. 1831 ponad sto doświadczeń ze spadającą swobodnie kulą w szybie kopalni (ę = 51°) i otrzymał następujące wyniki: przy wysokości spadania 158 [m] odchylenie ku wschodowi wyniosło średnio 28,3 [mm]. Obliczyć odchylenie przewidywane teoretycznie bez uwzględnienia oporu powietrza.

1.26. Punkt porusza się jednostajnie po powierzchni kuli o promieniu R, przy czym wektor prędkości v> tworzy z południkami stały kąt a. Znaleźć czas potrzebny na przejście punktu od równika do bieguna oraz równanie toru.

2. DYNAMIKA

2.1. Ciało o masie m, poruszające się ruchem jednostajnie prostoliniowym z prędkością v_OJ zostało zatrzymane na drodze s_a. Siła hamująca była liniową funkcją prędkości v taką, że w chwili zatrzymania ciała wartość jej równała się połowie wartości, jaką miała w chwili rozpoczęcia hamowania. Obliczyć wartość początkową siły hamującej.

'2

\

2.2. Samochód o masie m hamowany jest siłą oporu F = —kv². Jaką drogę przebędzie samochód zanim prędkość jego zmaleje do połowy?

2.3. Ciało o masie m spada pod wpływem siły ciężkości z wysokości h, bez prędkości początkowej. Uwzględniając opór ośrodka jako proporcjonalny do prędkości, znaleźć zależność drogi od czasu. Znaleźć przybliżone wyrażenie na x(t), gdy opór ośrodka jest bardzo mały, ale nie do zaniedbania.

2.4. Napisać równanie ruchu cząstki o masie m i ładunku q, znajdującej się w

jednorodnym, zmienny:

E = (E sincot, 0, 0), gdzie w jest

i polu elektrycznym częstością kołową, a E_a - amplitudą wektora natężenia pola elektrycznego.

a.    Znaleźć x(t), przyjmując warunki początkowe: v_x(0) = 0, x(0) = 0.

b.    Sprawdzić czy funkcja x(t) = x_l sincot + v₀t + x₀ spełnia równanie Newtona. Wyznaczyć postać współczynników: x₍

¹

v

2.5. Znaleźć równanie toru ciała o masie m w polu siły F = kr. W chwili początkowej ciało znajdowało się w punkcie (x_a, 0), a jego prędkość miała wartość v_Q i była prostopadła do osi x. Rozpatrzyć przypadki k > 0 i k < 0. Czy siła

F = kr jest zachowawcza?