101

7.2. Rozkłady dwuwymiarowe

101

co    co

(B) / • ■■ I f(x_l,...,x„)dx_l. ,.dx„ = 1.

— co —co

Gęstością brzegową Ąx) nazywamy gęstość zmiennej losowej X₍. Twierdzenie 7.1.2.

Zmienne losowe typu ciągłego są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy ich gęstość łączna jest iloczynem gęstości brzegowych, tzn. gdy

/Ol, •.. ,x_n) = f_x (*,) . ..f_n(x_n),    (7.1.5)

gdzie /;(-*,) jest gęstością zmiennej losowej X_{, i — 1,2,..., n.

7.1.3. Zadania

7.1.1. Niech A > 0 oraz niech

aę-W+y+z) dla x > 0, y > 0, z > 0,

0    w przeciwnym przypadku.

Dla jakiej wartości parametru a, funkcja f{x,y,z) jest gęstością wektora losowego (X,7,Z)7 Czy zmienne losowe X, 7, Z są niezależne?

7.2. Rozkłady dwuwymiarowe

7.2.1. Definicje i przykłady

Bardziej szczegółowo rozpatrzymy przypadek dwuwymiarowy. Dwuwymiarowy wektor losowy będziemy oznaczać przez (X,7). Jego dystrybuantę oznaczymy przez F(x,y), a w przypadku ciągłym, /(x,y) będzie gęstością. Jeśli (X,7) jest wektorem dyskretnym przyjmującym wartości 0/>>’/), to przyjmiemy oznaczenie:

p_iJ = Pr(X=x_i,Y=y_i)

J

oraz

p, = Pr(y = >>,), p,=Pr(X =*,.).

Prawdziwe są następujące związeki:

pj =    Pi = X>,-

(7.2.1)

j