str062 (5)

62 _* ^{ELEMENTY TEORH} FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Przyjmijmy teraz

(2)

Mamy wówczas

(3)    /(z) =A(z)-A(z).

Z założenia zmienna z przebiega pierścień

1 < |z| <2.

Wynika stąd natychmiast, że

/i(z) = -^, /a(z)-—7-

z—2    z —1

Mamy wówczas

(3)    i

Z założenia zmienna z przebieg

<1 oraz

Wobec tego funkcje /,(z) oraz /₂(z) określone wzorami (2) rozwijają się w zbieżne szeregi geometryczne. Mamy mianowicie

...    1    11    1 / z z² \

(1)    ^/l(z)~T~z ⁼ “j(¹⁺T⁺?⁺-j'

¹ 2

^{1    11}    1 /    1    1    \

(5)    fi(^z) — r--‘ ~ = —(lH---1—2 +...)•

Z— 1    ^Z1¹    z \    z    z²    )

z

Podstawiając związki (4) i (5) do wzoru (3), otrzymujemy

/W--j(i+|+p+...j-i(i+i+7+").

^m- 4    ^{dia i<w<2}-

♦    ri

<1.

Wynika stąd natychmiast, że rozwijamy na szereg geometryc 1 1

(4)

£(z) = .i «,₀

2-    z+1 z —1 + 2

Podstawiając wzór (4) do wzo

Stąd

1

W "a

m=-₂

i i %

™-ri=i+₄

Stąd

n= 1

a. =

1

dla n>0,

2"⁺¹

— 1 dla n<0.

Zadanie 9.3. Znaleźć rozwinięcie funkcji /(z) =    — w pierścieniu 0<|z-

Z — 1

Rozwiązanie. Postępując analogicznie jak w zadaniu (9.2) rozkładamy funkcję na ułamki proste. Mamy wtedy

Przyjmijmy teraz

11 <2.

najpierw naszą

(2)

/₂(z) =

z + 1'

Zadanie 9.4. Jakiego rodź mają funkcje

^a)    /00 = -T77 > ^b) f(^z

z+1

Rozwiązanie, a) Funkcr krotne, ponieważ funkcja 1/j

b)    funkcja /(z) = e^1/ł ma rzeczywistej z = x nie istniej

lin

*-»0-