str032 (5)

32 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 5 4. SZEREGI I

b) Przyjmijmy

(5)

z = i.

Obliczamy teraz moduł r, argument główny 0_o liczby zespolonej (5). Mamy kolejno a = 0, b = 1

(6)    r = s/a² + b² = s/o² + l² = 1,

Z wzorów Eulera (4.7) i

(3)

Wprowadzając zależności

a    0    b    1

cos 0 = — = — = 0, sin 0 = — = — =1. r    1    r    1

Stąd

(7)

0_o = in.

Biorąc pod uwagę (6) i (7) oraz stosując wzory (4.13) i (4.14), otrzymujemy w rozważanym przypadku odpowiednio

(8)    ln(i) =Onl + i±n+2kiti = i$n+2kKi,    k =0, ±1, ±2.....

(9)    Ln (i) = ln 1 + ijn = i|it. c) Przyjmijmy

(10)    z = 1 + i.

0

Obliczamy teraz moduł r oraz argument główny 0_O liczby zespolonej (10). Mamy kolejno a = 1, b = 1.

r = \j a² + b² = Vl²+1² = -Jl,

a stąd mamy moduł

(4)    I.

Fazę (p gęstości prądu ol

Zatem mamy

c

(5)

(U)

a    1    b 1

cos 0 — — = —i=, sin 0 = — —

r    V²    r    V²

Zależności (4) i (5) okre: oraz fazy.

Zadanie 4.6. Potencja! nych punktowych +q i -

Stąd

(12)

0_o = iir.

Biorąc pod uwagę (11) i (12) oraz stosując wzory (4.13) i (4.14), otrzymujemy w rozważanym przypadku odpowiednio

ln(l + i) = ln \j2+i\n + 2kni,    k = 0, +1, +2,...,

Wyznaczyć potencjał V(x Rozwiązanie.

Ln(l + i) = ln \/2 + i'^k.

Zadanie 4.5. Gęstość g natężenia prądu w przekroju S przewodnika określona jest przez następującą funkcję:

(1)    g (z) = A sinh z.

Wyznaczyć moduł gęstości g(z) oraz fazę <p, jeżeli z = x+iy.

Rozwiązanie. Dla wyznaczenia modułu gęstości natężenia prądu rozdzielimy najpierw w wyrażeniu (1) części rzeczywistą i urojoną

(1)

Wyznaczamy obecnie mc

Z-Zi

Po uwzględnieniu powyż: potencjał V(x, y) płaskie;

g (z) = A sinh (x + iy), g (z) = A (sinh x cosh iy + cosh x sinh iy).

3 — Wybrane działy matematy

(2)