0381

382

V. Funkcje wielu zmiennych

najmniejszą wartość, gdy wszystkie składniki są równe

(_ v<y-xj/v /_ \    /_\

j) -fe)

(i-Dh

_V(v-i)/y /„ \<v-D/y

czyli gdy

ŁlJ?±=1L

Po P1 Pl

Tak więc kolejne ciśnienia tworzą postęp geometryczny. Stąd

Pi—yjpoP, Pz=yJpoP²-

5) Na płaszczyźnie dany jest trójkąt o bokach a, b, c (rys. 108); można na nim zbudować jako na podstawie nieskończenie wiele ostrosłupów o danej wysokości h. Trzeba znaleźć spośród nich taki, który ma najmniejszą powierzchnię boczną S.

Zagadnienie sprowadza się do znalezienia rzutu M wierzchołka ostrosłupa. Położenie jego jest określone przez trzy prostopadłe x, y, z opuszczone odpowiednio na boki a, b, c. Każdą z tych prostopadłych bierzemy ze znakiem plus, gdy punkt M leży z tej samej strony odpowiedniego boku co cały trójkąt, i ze znakiem minus w przeciwnym wypadku. Wielkości x, y, z związane są zależnością

2 P—ax—by

ax+by+cz—2P,    skąd z—-—

c

(P oznacza pole trójkąta). Interesująca nas powierzchnia boczna S wyraża się teraz wzorem

S—j^aVx²+h²+jby/y²+h²+^C\/z²+h^z ,

gdzie z powinno być zastąpione przez znalezione wyżej wyrażenie. Obszarem zmienności zmiennych niezależnych x i y jest cała płaszczyzna xy. Jest teraz

25,-

y/x²+h² Jz²+h² C

—=0,

2 S,=

by

czyli

y/u²+h²    ■s/z²+h^{2 c}

—=0,

, skąd x=y = z.

Odpowiednim położeniem punktu M jest środek koła wpisanego w trójkąt.

Łatwo jest pokazać, że tym wartościom x i y odpowiada najmniejsza wartość S. Mianowicie, podobnie jak w przykładzie 4) z poprzedniego ustępu, trzeba skorzystać z tego, że przy nieograniczonym wzrastaniu x lub y również i S rośnie nieograniczenie.

6) Niech będą dane na płaszczyźnie trzy punkty Miiai.bi), M₂(a₂, b₂), M₃(a₂, b₃), nie leżące na jednej prostej. Trzeba znaleźć na tej płaszczyźnie taki punkt, żeby suma jego odległości od danych punktów była najmniejsza.

Biorąc dowolny punkt M(x,y) oznaczmy

Pi=-J{.x-a,)²+{y-b,)²    (i=1,2,3).