0347

348

V. Funkcje wielu zmiennych

Wnioski. W wypadku, gdy x i y były funkcjami jednej zmiennej, mieliśmy następujące wzory:

d(cx) = cdx,    d(x±y) = dx±dy,    d(xy) = ydx+xdy,

' x \ ydx — xdy

Wzory te są słuszne również w wypadku, gdy x i y są funkcjami dowolnej liczby zmiennych, tj. gdy

x=<p(t,v,y = y/(t, v,...).

Udowodnimy na przykład ostatni wzór.

W tym celu przyjmiemy najpierw x i y za zmienne niezależne; wówczas

d

ydx — xdy

Widzimy, że przy tym założeniu wzór na różniczkę jest taki sam, jak i dla funkcji jednej zmiennej. Na podstawie niezmienniczości wzoru na różniczkę można twierdzić, że wzór ten jest słuszny również w wypadku, gdy x i y są funkcjami dowolnej liczby zmiennych.

Udowodniona własność różniczki zupełnej i wnioski z niej pozwalają uprościć obliczanie różniczek, na przykład:

x    1    (x\

1) rfarctg—=--—r^4( —1 =

' >+ 7

ydx—xdy

x²+y²

2) d

* +y +r

{x² +y² +z²) dx — xd(x² +y² +z²) (y²+z² —x²) dx—2xy dy—2xz dz

(x²+y² + z²)²

(x²+y² + z²)²

Ponieważ współczynnikami przy różniczkach zmiennych niezależnych są odpowiednie pochodne cząstkowe, otrzymujemy stąd od razu wartości tych ostatnich.

x

Na przykład dla u — arc tg — mamy bezpośrednio

y

Bu y    Bu x

3x x²+y²’    Bz    x²+y²

a dla u — —i-5-otrzymamy od razu

x²+y²+z²

2xz

(x²+y² + z²)²

Bu

Bz

Bu y² + z²—x² Bu    2xy

3x⁼(x²-\-y² +z²)² ’    3y⁼~{x²+y²+z²)²’

(porównaj 2) i 3) w ustępie 177).

186. Zastosowanie różniczki zupełnej do rachunków przybliżonych. Podobnie jak różniczka funkcji jednej zmiennej [108] różniczka zupełna funkcji wielu zmiennych może być z powodzeniem zastosowana do szacowania błędu w rachunku przybliżonym. Niech na przykład dana będzie funkcja u=f(x, y), przy czym wyznaczając wartości x i y popełniamy pewien błąd, powiedzmy Ax i Ay. Wówczas wartość