0335

336

V. Funkcje wielu zmiennych

Jednakże podczas gdy w przypadku funkcji jednej zmiennej istnienie pochodnej y'_x = =f'(xo) w rozpatrywanym punkcie wystarczało na to, by zachodziła zależność (3), w naszym wypadku istnienie pochodnych cząstkowych

K=fx(Xo,yo,Zo), u'_y=f_y(x₀,y₀,z₀),    u_z=f'_z(x₀,y₀,z₀)

nie gwarantuje jeszcze, że zachodzi (4). W przypadku funkcji dwóch zmiennych widzieliśmy to na przykładzie z poprzedniego ustępu. Tam też w udowodnionym twierdzeniu były podane warunki wystarczające na to, by spełniona była zależność (4). Było to istnienie pochodnych cząstkowych w otoczeniu punktu (x₀, y₀> z₀) i ich ciągłość w tym punkcie. Zresztą łatwo jest udowodnić, że warunki te nie są bynajmniej konieczne dla prawdziwości wzoru (5) lub (5*). Wynika to właściwie już z tego, że dla funkcji jednej zmiennej, którą jeśli chcemy, możemy uważać także za funkcję dowolnej liczby zmiennych, podobne warunki nie są konieczne.

Gdy zachodzi wzór (5), funkcja f(x,y,z) nazywa się róźniczkowalna w punkcie (x₀, >’₀, z₀) i (tylko w tym przypadku) wyrażenie

u_xAx + u’_yAy + u'_zAz =f_x (x₀,y₀,z ₀)Ax +f'_y (x₀,y₀,z₀)Ay+f'_z(x₀,y₀,z₀)Az,

tj. liniową część przyrostu funkcji, nazywamy różniczką zupełną i oznaczamy symbolem du. lub df(x₀,y₀, z₀).

W przypadku funkcji wielu zmiennych stwierdzenie, że funkcja jest róźniczkowalna w danym punkcie nie jest już, jak widzimy, równoznaczne ze stwierdzeniem, że funkcja ma pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych w danym punkcie, lecz oznacza coś więcej. Będziemy zresztą zwykle zakładali istnienie i ciągłość pochodnych cząstkowych, a to pociąga już za sobą różniczkowalność.

Przez różniczki zmiennych niezależnych dx, dy, dz umawiamy się rozumieć dowolne przyrosty Ax, Ay, Az (¹). Można wobec tego napisać

df(x₀, y o, z ₀) =/; (x₀ ,y_0iz₀)dx +f'_y (x₀ ,yo,z₀)dy+f_z(x₀,y₀,z₀)dz

lub

du = u'_xdx + u'_ydy + u_zdz.

Okazuje się, że różniczka zupełna równa się sumie różniczek cząstkowych [177].

180. Interpretacja geometryczna w przypadku funkcji dwóch zmiennych. Chcąc dać interpretację geometryczną tego, co powiedzieliśmy wyżej, analogiczną do interpretacji geometrycznej pochodnej i różniczki funkcji jednej zmiennej [91,104], wróćmy do pojęcia stycznej do krzywej w punkcie M₀ krzywej.

(^ł) Jeśli utożsamić różniczkę zmiennej niezależnej * z różniczką x jako funkcji zmiennych niezależnych x, y, z, to zgodnie z ogólnym wzorem można napisać

dx=x'_x Ax+x'y Ay+x'_z Az — 1 ■ Ax+0- Ay + 0- Az —Ax ; wówczas równość dx—Ax jest udowodniona.