0343

344

V. Funkcje wielu zmiennych

i podstawimy zamiast pochodnej F\Q) znalezione przed chwilą wyrażenie (dla t = 6), to otrzymamy wzór (10).

Jako prosty przykład zastosowania udowodnionego wzoru wymienimy następujące twierdzenie:

Jeśli funkcja f(x,y,z) ciągła w obszarze domkniętym i spójnym 3 ma wewnątrz obszaru pochodne cząstkowe równe 0,

/>/;=/;=o,

to funkcja ta w całym obszarze 3 jest stała,

f = const.

Niech M_Q(x₀,y_Q,z₀) i M(x,y,z) będą dwoma dowolnymi punktami obszaru 3. Wobec założeń spójności obszaru 3), punkty te można połączyć łamaną nie wychodzącą poza 3. Jeśli Mfx_y ,y_lt z i) jest wierzchołkiem łamanej następującym po M₀, to przyjmując w (11) x₀ + dx = x_l, y₀ + ^y~yi, z₀ + dz=z_1} otrzymamy od razu

f(x i, y i, z₁)=f(x₀, y₀, z₀);

przechodząc tak kolejno od wierzchołka do wierzchołka otrzymamy ostatecznie _cbdo    f(x ,y, z) =f(x₀, y₀, z ₀),

184. Pochodna kierunkowa. Pochodne cząstkowe funkcji f(M)=f(x, y, z) względem x, względem y i względem z wyrażają prędkość zmiany funkcji w kierunku osi współrzędnych. Na przykład f'_x jest prędkością zmiany funkcji względem x — zakłada się, że punkt przesuwa się tylko po prostej równoległej do osi x. Tymczasem w wielu zagadnieniach fizycznych może nas interesować także prędkość zmiany funkcji /(M) w innym kierunku. Tak będzie na przykład, gdy dane jest pole temperatury, tzn. jeśli dana jest temperatura f(M) w każdym punkcie M rozpatrywanego ciała. Prawa rozkładu i przepływu ciepła zależą w sposób istotny od prędkości spadku (lub wzrostu) temperatury we wszystkich kierunkach. Określimy dokładniej pojęcie prędkości zmiany lub pochodnej funkcji w dowolnie zadanym kierunku. Będziemy tu także mieli sposobność zastosować wzór (9).

Niech funkcja f(M) będzie określona w pewnym obszarze otwartym. Rozpatrzymy dowolny punkt M₀(x₀,y₀,z₀) tego obszaru i dowolną prostą skierowaną (oś) / przechodzącą przez ten punkt (rys. 102).

Niech M(x,y,z) oznacza dowolny inny punkt tej osi, M₀M — długość odcinka między M₀ i M wziętą z odpowiednim znakiem, a mianowicie ze znakiem plus, jeśli zwrot M₀M pokrywa się ze zwrotem osi / i ze znakiem minus — w przeciwnym wypadku.