0339

340

V. Funkcje wielu zmiennych

Rzeczywiście, nadajmy zmiennej / pewien przyrost At, wówczas x, y i z uzyskają odpowiednio przyrosty Ax, Ay, Az, a funkcja u dozna przyrostu Au.

Przedstawiając przyrost funkcji u w postaci (1) (możemy to zrobić, ponieważ założyliśmy istnienie ciągłych pochodnych cząstkowych u'_x, u'_y, «') otrzymujemy

A u = u'_xA x+u' A y + u' A z + ocA x + fiA y+yA z,

gdzie a, /?, y-»0, gdy Ax, Ay, Az-*0. Dzieląc obie strony równości przez At otrzymujemy

Au

At

Ax    , Ay    , Az    Ax    Ay    Az

= u_x---l-u---hu_z----ha---h P---hy--

At    ^y At At    At    At    At

Niech teraz przyrost At dąży do zera; wówczas Ax, Ay, Az będą dążyły do zera, ponieważ jc, y i z są funkcjami ciągłymi zmiennej t (założyliśmy istnienie pochodnych x\, y',, z',), a więc a, 0 i y również będą dążyły do zera. Po przejściu do granicy otrzymujemy

(8)    u'_t = u'_xx'_t + u'_yy’_t + u'_zz’_t.

Widzimy, że przy przyjętych założeniach pochodna funkcji złożonej rzeczywiście istnieje. Jeśli skorzystać z oznaczeń różniczkowych, to wzór (8) można napisać tak:

^    du ou dx ^ du dy ^ 8u dz

dt dx dt dy dt dz dt

Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy x, y i z zależą nie od jednej zmiennej t, lecz od kilku zmiennych, na przykład

x=<p(t,v),    y = t//(t,v),    z=j(t,v).

Oprócz istnienia i ciągłości pochodnych cząstkowych funkcji f(x,y, z)(^ł) zakładamy tu istnienie pochodnych cząstkowych funkcji x, y, z względem t i v.

Po podstawieniu funkcji ę, y i / do funkcji / otrzymamy pewną funkcję dwóch zmiennych t i v. Powstaje pytanie, czy istnieją pochodne cząstkowe u, i u' i jak je obliczyć. Ten wypadek jednak nie różni się istotnie od już zbadanego, gdyż przy obliczaniu pochodnej cząstkowej funkcji dwóch zmiennych ustalamy jedną z tych zmiennych i pozostaje nam funkcja jednej zmiennej. Tak więc wzór (8) pozostaje bez zmiany, a wzór (9) trzeba napisać w postaci

*    du du dx du dy du dz

(9*)    — ----+---- + — •--

dt dx dt dy dt dz dt

182. Przykłady.

1) Rozpatrzmy funkcję potęgowo-wykładniczą

u=ć.

(’) Patrz notka (³) na dole str. 339.