314
V. Funkcje wielu zmiennych
Jasne jest dla czytelnika, że wypowiedziany wyżej warunek daje inną formę definicji granicy funkcji „w języku ciągów”.
Tak więc i dla funkcji wielu zmiennych możemy sprowadzić zagadnienie granicy funkcji do zagadnienia granicy ciągu (porównaj ustęp 53). Wynik ten daje się łatwo rozszerzyć także na przypadek, gdy liczby A, ax,..., a„, lub niektóre z nich są nieskończone.
Fakt ten pozwala przenieść na nowy typ granicy wszystkie pojęcia podstawowe i twierdzenia wyłożonej w rozdziale I teorii granic, podobnie jak to zrobiliśmy w ustępie 55 dla granicy funkcji jednej zmiennej niezależnej.
167. Przykłady.
1) Korzystając z twierdzenia o granicy iloczynu można przede wszystkim łatwo udowodnić, że
lim Cx\i...xln=Ca\iav22...aln,
gdzie C, Oi, a2, ..., a„ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a v1; v2, ..., v„ — liczbami całkowitymi nieujemnymi. Stąd, jeśli przez P(x1, x2, xn) oznaczymy wielomian [164]:
P(xl,x2, ...,x„) = £ CV1 ...Vnxv1,x22...x’",
Vi-..VM
otrzymujemy na mocy twierdzenia o granicy sumy także
lim P(xi,x2, ..., x„) = P(ai, a2, ..., a„),
xl->ai
Analogicznie dla funkcji wymiernej ułamkowej [164]:
e(*i,x2, ...,xj=
En Yvj v2 v„
'-'viV2...vn 1 ,,,An
Zn' -yMl V^2
1 x2 "’xn
będzie na mocy twierdzenia o granicy ilorazu
lim Q(x1, x2, ...,xĄ) = Q(a1, a2, ...,aH),
pod warunkiem oczywiście, że mianownik nie jest równy 0 w punkcie (alt a2, an).
2) Rozpatrzymy funkcję potęgowo-wykładniczą x> dla x>0 i dowolnego y. Wówczas, jeśli n>0, a b jest dowolną liczbą rzeczywistą, otrzymamy
lim xy=ab.
x~*a
y~*b
Rzeczywiście, jeśli wziąć dowolne ciągi x„-><z i yn-+b, to (porównaj ustęp 78): a to w języku ciągów wyraża żądany wynik.