0313

0313



314


V. Funkcje wielu zmiennych

Jasne jest dla czytelnika, że wypowiedziany wyżej warunek daje inną formę definicji granicy funkcji „w języku ciągów”.

Tak więc i dla funkcji wielu zmiennych możemy sprowadzić zagadnienie granicy funkcji do zagadnienia granicy ciągu (porównaj ustęp 53). Wynik ten daje się łatwo rozszerzyć także na przypadek, gdy liczby A, ax,..., a„, lub niektóre z nich są nieskończone.

Fakt ten pozwala przenieść na nowy typ granicy wszystkie pojęcia podstawowe i twierdzenia wyłożonej w rozdziale I teorii granic, podobnie jak to zrobiliśmy w ustępie 55 dla granicy funkcji jednej zmiennej niezależnej.

167. Przykłady.

1) Korzystając z twierdzenia o granicy iloczynu można przede wszystkim łatwo udowodnić, że

lim Cx\i...xln=Ca\iav22...aln,

gdzie C, Oi, a2, ..., a„ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a v1; v2, ..., v„ — liczbami całkowitymi nieujemnymi. Stąd, jeśli przez P(x1, x2, xn) oznaczymy wielomian [164]:

P(xl,x2, ...,x„) = £ CV1 ...Vnxv1,x22...x’",

Vi-..VM

otrzymujemy na mocy twierdzenia o granicy sumy także

lim P(xi,x2, ..., x„) = P(ai, a2, ..., a„),

xl->ai

Analogicznie dla funkcji wymiernej ułamkowej [164]:

e(*i,x2, ...,xj=


En    Yvj v2 v„

'-'viV2...vn    1    ,,,An

Zn'    -yMl V^2

1 x2 "’xn

będzie na mocy twierdzenia o granicy ilorazu

lim Q(x1, x2, ...,xĄ) = Q(a1, a2, ...,aH),

pod warunkiem oczywiście, że mianownik nie jest równy 0 w punkcie (alt a2, an).

2) Rozpatrzymy funkcję potęgowo-wykładniczą x> dla x>0 i dowolnego y. Wówczas, jeśli n>0, a b jest dowolną liczbą rzeczywistą, otrzymamy

lim xy=ab.

x~*a

y~*b

Rzeczywiście, jeśli wziąć dowolne ciągi x„-><z i yn-+b, to (porównaj ustęp 78): a to w języku ciągów wyraża żądany wynik.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
skanuj0030 (6) Vl.1 Określenie funkcji wielu zmiennych    211 . Z podanej definicji w
319 2 319 7.7. Funkcje wielu zmiennych * Obudować wzór dla u"(0, 0) korzystający z ui} (
372 V. Funkcje wielu zmiennych Widać stąd od razu, że jedynym punktem stacjonarnym jest początek ukł
300 V. Funkcje wielu zmiennych wistymi z, tylko dla tych par (x, y), które spełniają odpowiednio
10 (27) 178 9. Funkcje wielu zmiennych Jeżeli/jest funkcją rzeczywistą o dziedzinie (a, b) <= Rl
372 V. Funkcje wielu zmiennych Widać stąd od razu, że jedynym punktem stacjonarnym jest początek ukł
372 V. Funkcje wielu zmiennych Widać stąd od razu, że jedynym punktem stacjonarnym jest początek ukł
372 V. Funkcje wielu zmiennych Widać stąd od razu, że jedynym punktem stacjonarnym jest początek ukł
10 (41) 192 9. Funkcje wielu zmiennych klasy , zdefiniowanego w otoczeniu (3,2,7) takiego, że g(3,2,
338 V. Funkcje wielu zmiennych Jeśli przy M-*M0 dąży do zera stosunek MKlp, to tym bardziej jest to
img096 96Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych Twierdzenie 8.3* Jeśli funkcje f:fin3K(e,r) —w R m

więcej podobnych podstron