60877

2

Równość powyższą nazywamy wzorem Taylora dla funkcji dwóch zmiennych. Ostatnik składnik w tym wzorze nazywamy n-tą resztą i oznaczamy R„ .

Jeżeli punkt (xo, yo) = (0.0) to wzór Taylora nazywamy wzorem Maclaurina.

Przykład Napisać wzór Taylora z resztą /?₂ dla funkcji f(x,y) = x²y w otoczeniu punktu

(-1,1).

Rozwiązanie Wzór Taylora w otoczeniu punktu (— 1,1) z resztą Rz ma postać:

/(^{1 2},{/) = /(—1,1) + “d/(-l, l)(x + l,y-l) + ^d²f{x_c,y_c)(x+\,y-l)

gdzie punkt (x_c,j/_c) jest punktem odcinka łączącego punkty ( — 1.1) i (x, y).

Obliczamy więc kolejno:

• /(-1,1) = 1

fx{², V) = 2 xy    /x(— 1,1) = “2

f_y(x.y) = x²    f_u(-1,1) = 1

•    df{-1. l)(x + l,y- 1) = -2(x + 1) + (y- 1)

_• fxx{x,y) = 2y    frv(x,y) = 2ar

fyx(x,y) = 2x    f_vy(x,y) = 0

•    r/²/ (x_c, y_c) {x + l,y — 1) = 2y_c(x+ l)² + 4x_c(x+ l)(y- 1)

Zatem wzór Taylora z resztą R> dla funkcji f{x.y) = x²y w otoczeniu punktu (—1.1) przyjmie postać:

x²y = 1 - 2(x + 1) + (y - 1) + y_c(x + l)² + 2x_c{x + \)(y - 1).

Przykład Napisać wzór Maclaurina z resztą R3 dla funkcji f(x, y) = e^x+2v . Rozwijanie Wzór Maclaurina z resztą /?₃ ma postać:

LA²'!/) = e^I+22' /,„(², !/) = 2e'⁺²» /_VI(x,ff) = 2e²+^J» /„(².») =

/„(0,0) = e« = 1 A_v(0,0) = 2s° = 2 0) = 2e° = 2 /™(0.0) = 4e° = <1

• d²/ (0,0) (x.y) = x² + \xy + 4 y²

1

/(²>!/) = /(0.0) + jj rf/ (0,0) (x, y) + ^ (Pf (0,0) (x,y) + ^ d³f(x_c,y_c){x,y)

gdzie punkt (x_c, y_c) jest punktem odcinka łączącego punkty (0.0) i (x, y).

Obliczamy więc kolejno:

•    /(0.0) = e°=l

/_X(x,y)=e²⁺²²'    /x(0,0) = e° = 1

*    f_v(x.y) — 2e^x+2y /y(0.0) = 2e° = 2

2

d/ (0,0) (x, y) = x + 2y