3582320957

Funkcja dwóch zmiennych

Funkcją dwóch zmiennych x, y nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi P(x, y)e Ddokładnie jednej liczby ze Z i zapisujemy: f:z = f{x,y) (x,y)eD ze Z lub

/: D —» Z,    x,y- zmienne niezależne

z - zmienna zależna / - symbol przyporządkowania

Granica podwójna funkcji dwóch zmiennych w punkcie.

Załóżmy, że funkcja z - f(x, y) jest określona w D i niech P₀(x₀,y₀)e D będzie punktem skupienia tego zbioru.

Def. (Według Cauchy’ego)

Mówimy, że liczba g jest granicą podwójną funkcji z = f{x,y) i zapisujemy lim /U y)=S wtedy i tylko wtedy, gdy _{A v} A

x->x₀    g>0 {<?)e>0 P{x,y)iD

>-»o

(0< dpp₀ <$)=> f{x,y)-g< e

Def. Mówimy, że ciąg punktów {P„}={P_R (x, y)} jest zbieżny do punktu P₀ = (x₀, y₀)

jeśli =^₀ ^oraz limy* = %

n-)oQ    n—

Def. Granicy podwójnej funkcji z = f{x,y) w P₀(x₀, y₀) według Heinego

liczbę g nazywamy granicą podwójną fiinkcji z- f{x,y) w punkcie P₀(x₀,y₀) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu punktów {P_R}= {P„(x, y)}

(P„{x_n, y J * P₀fa, y₀)). odpowiedni ciąg wartości funkcji {f{P„)} jest zbieżny do g

Granice Uerowane

1. Jeżeli istnieje granica właściwa    y)= ^(y) oraz istnieje granica limg(y), to

*->*o    y-»yo

nazywamy ją granicą iterowaną i zapisujemy:

lim

lim /(x,y)

(granica ze względu na x, a następnie ze względu na y)

1. Jeżeli istnieje granica właściwa Hm/(** y)⁼ h(^x) oraz istnieje granica    to

y->yo

nazywamy ją granicą iterowaną i zapisujemy:

lim

lim/(x,y)

,y-»y₀

(granica ze względu na y, a następnie ze względu na x)