82304

Definicja 7.10 (Wrońskian układu Wrońskiancm układu funkcji {y\,1/2____	funkcji) ,y„) nazywamy wyznacznik:
	2/1(2)	1/2(2)	2/n(2)
	2/1(2)	2/2(2)	2/1(2)
W (2/1 (2). 2/2(2),----2/n(x)) =
	(n—1) / v y\ (2)	(n-1), \ y2 (2) •••	vL"~%)

Twierdzenie 7.6 (Liniowa niezależność rozwiązań)

Rozwiązania równania liniowego jednorodnego (LJ_n) są na przedziale (a.b) liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x € {a.b) spełniają warunek

W(yi(x),y2(a0.....yn{x)) ± 0

dowód:

1.    ” => ” Zaprzeczmy tezie: 3x₀ € (a. 6) : H'(2/1(20), 2/2(20).. • • »!/n(*o)) = 0. Wtedy układ równali liniowych:

aiyi(*o) + «2i/2(tfo) + • • • + Qni/n(x o) = 0

Ol»5(*o) + <*M^xo) + • • • +    = 0

. aiv!^n_1)(*o) + «2y2^n_!)(^Xo) + • • • + O_nyn^,“^l)(*o) = 0 ma niezerowe rozwiązanie oi, 02,... ,o„ .

To oznacza, że funkcja 2/(2) = o 12/1 (x) + 022/2(2) + ... + ct_ny_n{x) spełnia równanie {LJ_n) oraz zerowe warunki początkowe.

Na mocy twierdzenia 3.1 jedynym takim rozwiązaniem jest rozwiązanie tożsamościowe równe zero: y{x) = 0. Zatem istnieją liczby rzeczywiste 0^+02+.. .+a£ > 0

takie, że oiyi(x) + 022/2(2) + •• • + o_ny_n(x) = 0 , więc funkcje yi,y₂.....y_n

liniowo zależne.

2.    ” <= ” Niech dla każdego x € (a. 6) W (yi(x), 2/2(2),.... y_n(2)) ^ 0 Rozpatrzmy funkcję y(x) = 0 taką. że y(x) = aiyi(x) + 021/2(2) +... + o„y_n(x). Wtedy dla każdego x € (a. 6)

«iyi(x) + 022/2(2) + ... + a„y„(z) = 0 011/1(2) + 02^(2) + ... + Q_n\/_n{x) = 0

. ttil/i" ^M + oayJ" *⁾(2) +...+o„yi^{n !)}(x) = 0

Jedynym rozwiązaniem jednorodnego układu równań liniowych o wyznaczniku W (2/1(2), 1/2(2),____2/0(2)) ^ 0 jest rozwiązanie zerowe. Zatem

012/1(2) + 022/2(2) + . •. + On2/n(2) = 0 =► Ol = 0₂ = • • • = O_n = 0

co oznacza liniową niezależność rozwiązali y\. y₂.----y„.

9

Definicja 7.11 (Fuiidaiiieiitalny układ rozwiązań)

Ciąg (2/1.2/2.....yn) liniowo niezależnych rozwiązań równania {LJ_n) nazywamy jego fun

da 111 cntalnyni układem rozwiązań.

52