Scan0054

66 Funkcje jako relacje

Definicja 6.10 Funkcją odwracalną nazywamy funkcję mającą funkcję odwrotną. Funkcje fig stanowią parę funkcji wzajemnie odwrotnych, tzn:

y = f(x), x = g(y).

Uwaga 6.4 Ponieważ zmienną niezależną oznaczamy zwykle przez x, więc równość x — g (y) piszemy w postaci y = g (x) pamiętając jednak, ze wówczas x £ Y, zaś y £ X.

Przykład 6.3 Podać funkcję odwrotną do / : M —> (0, +oc), y = / (rr) = 2^X :

•    funkcja jest bijekcją, zatem posiada funkcję odwrotną,

•    g : (0, +oo) —* R, x = g{y) — log₂ y,

•    sprawdzenie: g (/ (x)) =g(y) = log₂ y = log₂ (2^X) = x,

•    zamiana oznaczeń: y = f~^l (x) = log₂ x.

Uwaga 6.5 Wykresy funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej wzajemnie odwrotnych są na płaszczyźnie kartezjańskiej położone symetrycznie względem prostej y = x.

6.5 Zadania

1. Zbadać, czy funkcja / : M —> R, gdzie / (x) = x² jest injekcją, surjekcją i bijekcją. Jeżeli nie jest injekcją, podać x\ i X2 takie, że x\ 7^ X2 i / {xi) = / (x2)- Jeżeli nie jest surjekcją, podać Wf.