23405

Teoria Obwodów - Lekcja 7

7.1. Szereg Fouriera

■ Wprowadzenie

Zgodnie z twierdzeniem Fouriera funkcję okresową f[f) o okresie T (częstotliwość ń=l/7) można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej oraz funkcji sinusoidalnych o częstotliwościach kf jeśli funkcja ta spełnia tak zwane warunki Dirichleta.

Niech dana będzie funkcja okresowa 7(f) określona w przedziale 0- T, gdzie T oznacza okres tej funkcji. Załóżmy, że funkcja ta spełnia warunki Dirichleta, to znaczy, że w przedziale 0-7" jest bezwzględnie całkowalna, czyli

ri/wi*<«°    ₍7.i) ma skończoną liczbę maksimów i minimów a w przedziale 0-7" co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją skończone granice prawostronna i lewostronna a wartość funkcji w tym punkcie przyjmuje się jako średnią arytmetyczną granicy lewo- i prawostronnej, to jest

S<V’\l/<U+/(fJ]    (7.2)

■ Postać trygonometryczna szeregu Fouriera

Każda funkcja okresowa spełniająca wymienione warunki Dirichleta może być wyrażona za pomocą nieskończonego, zbieżnego szeregu Fouriera. Suma tego szeregu dla dowolnego punktu czasu t jest równa wartości funkcji Ąf), co znaczy

(7.3)

(7.4)

J(l) - Ą + jTf, sin(kat +

A-l

lub

/(0-Ą + V A cos(kut)+£y sm(*az)] 1-1

Szereg po prawej stronie równań (7.3) i (7.4) nazywać będziemy szeregiem trygonometrycznym Fouriera. W szeregu tym wyróżnić należy następujące parametry

k- rząd harmonicznej (*=1, 2, 3,...)

Ą - amplituda <r-tej harmonicznej

^m Ą - składowa stała przebiegu

k'_t - faza początkowa /r-tej harmonicznej