8 (35)

161

Szeregi Fouriera

jest JV-tą sumą częściową szeregu Fouriera funkcji/. Nierówność (72) przyjmuje teraz postać

N

(76)

Aby otrzymać bardziej wygodną niż (75) postać sumy s_N wprowadzimy jądro Dirichleta

n- -N

(77)

Pierwsza z powyższych równości stanowi definicję D_N{x), natomiast druga jest wynikiem tożsamości (e^ix— l)D^(x) = e^i{N+l)x—e~^iNx, jeżeli obie jej strony pomnożymy przez e~*^i/2. Na mocy (62) i (75) mamy

li    *    Jt    N

tak, że

(78)

Okresowość wszystkich występujących tu funkcji powoduje, że jest nieistotne po jakim przedziale całkujemy, byle tylko jego długość wynosiła 2ti. Z uwagi tej wynika równość całek w (78).

Udowodnimy teraz twierdzenie o zbieżności punktowej szeregów Fouriera..

8.14. TWIERDZENIE. Jeżeli dla pewnego x istnieją stałe 8 > 0 i M < oo takie, że

lf(x+t)-f(x)l 4 MW

(79)

dla dowolnego t e(—8,8), to

(80)

lim s_M(f; x) = f(x).

Dowód. Określmy

n

(81)

— rt

11 — Podstawy analizy matematycznej