9414912658

84

wersja robocza z dnia: 30 czerwca 2015

gdyż n(Aj) jest j-tą sumą częściową szeregu ń(Pj)-

Dla dowodu (iii) zauważmy, że na mocy wzorów De Morgana

A\ \ P| Aj = [J Bj, gdzie Bj = A\ \ Aj i=i    i=i

Zbiory Bj tworzą ciąg wstępujący, tzn. B\ C B^ C Bj, C ... Na mocy udowodnionych już punktów (i) oraz (ii),

- ^K^Bi) = /‘(Al) ~    ■

Uwaga 4.10. Założenie p{A\) < oow Stwierdzeniu 4.9 (iii) jest istotne. Jeśli np. na & = 2ⁿ weźmiemy miarę liczącą, która każdemu zbiorowi A c N przypisuje liczbę jego elementów #A, to dla (nieskończonych) zbiorów Aj — {j,j +1, j+2, • • ■} jest p(Aj) — +oo, a zatem

= /*(fv

\?'=i

+oo = lim u(Aj) > 0 = u(0) j-* 00

Definicja 4.11 (warunek Caratheodory’ego). Niech p* będzie miarą zewnętrzną na X. Powiemy, że zbiór Ac X spełnia warunek Caratheodory’ego wtedy i tylko wtedy, gdy

p*{Z) — p*(Z fi A) + p*(Z \ A) dla każdego zbioru Z c X.    (4.3)

Twierdzenie 4.12 (C. Caratheodory). Niech p* będzie miarą zewnętrzną na X. Rodzina C 2^X wszystkich zbiorów A C X, spełniających warunek Caratheodory’ego, jest a-ciałem. Funkcja

p = p*\    [O, +oo]

jest miarą, tzn. spełnia warunek przeliczalnej addytywności (4.2).

Twierdzenie Caratheodory’ego jest bardzo ważne, gdyż ułatwia konstrukcję różnych miar. Wystarczy skonstruować miarę zewnętrzną p* (co jest łatwiejsze, gdyż warunki w definicji są słabsze!) na X, a następnie zawęzić dziedzinę funkcji p* do rodziny tych zbiorów A, które spełniają (4.3). W taki właśnie sposób skonstruujemy w następnym podrozdziale miarę Lebesgue’a na Rⁿ, tzn. naturalny i ogólny odpowiednik długości przedziału w R, pola wielokąta w R² czy objętości wielościanu w R³, określony jednak dla bardzo szerokiej klasy podzbiorów przestrzeni.

Co ciekawe, twierdzenie Caratheodory’ego nie wydaje się łatwe, gdyż warunek (4.3) nie jest szczególnie naturalny. Jednak, jak zobaczymy, dowód wprawdzie jest długi, ale nie jest zbyt trudny: w gruncie rzeczy polega na planowym i żmudnym, choć dość prostym sprawdzaniu kolejnych warunków.

Dowód. Krok 1: Zbiór pusty należy do &, gdyż dla każdego Z jest p*(Z) — O + p*(Z \ 0) = p*(Z D0) + p*{Z \0).

Krok 2: rodzina jest zamknięta ze względu na branie dopełnień. To wynika z faktu, że warunek Caratheodory’ego można zapisać w symetrycznej postaci

n‘(Z) = if(ZnA) + //(Z \ A) = fi"(Z \ (X \ A)) + _M*(Z n (X \ X)).