9414912662

wersja robocza z dnia: 30 czerwca 2015

^//*(Z fi Pj) < 2/x*(Z) < oo dla każdego m= 1,2,... j=i

tzn. szereg ^2 p*(Z C\ Pj) jest zbieżny. Dlatego dzięki (4.9) otrzymujemy

(4.12)

^ p*(Z fi Pj) —> O    dlara —» oo.

j=m+l

Ponieważ dist (Q_m, X \ O) > ^ > O, więc

M*(znQ_m) + ^(zn(i\n)) =^((znn_m)u(z\fi)) <p*{Z).

=Z\Q

Przeto

n*(z n ci) + fi*(z \ n) < p*(z n n_m) + p*(z n (D \ n_m)) + p*(z \ D)

</_t^,(z) + _/i*(zn(fl\fi_m))

i w granicy m —» oo, dzięki warunkowi (4.12), p*(Z n fi) + p*(Z \ fi) < p*(Z).    □

4.2 Konstrukcja i własności miary Lebesgue’a w M.ⁿ

W tym podrozdziale przyjmiemy X — Rⁿ. W przestrzeni IR” rozpatrujemy metrykę eukli-desową. Definiujemy także dwa porządki częściowe w Rⁿ: piszemy ar -< y wtedy i tylko wtedy, gdy z* < yi dla wszystkich i = 1,n, zaś x ==•: y wtedy i tylko wtedy, gdy Xi < yi dla i = 1,... ,n.

Definicja 4.17 (przedziały /(-wymiarowe). Załóżmy, że x,y e Rⁿ i x -< y. Zbiory

(x-y)_n = {z e R”: x -< z -< y} oraz [ar,y]„ = {z € Rⁿ: x =4 z =4 y}

nazywamy, odpowiednio, n-wymiarowym przedziałem otwartym i n-wymiarowym przedziałem domkniętym o końcach x i y. Odcinki [z*, yĄ C R nazywamy krawędziami takich przedziałów.

Czytelnik zechce zauważyć, że przedziały 2-wymiarowe to prostokąty, a przedziały 3-wymiarowe to prostopadłościany. Przedział domknięty jest po prostu iloczynem karte-zjańskim swoich krawędzi,

[x,y]n =    X    X ... X [x_n,y_n].

Uwaga 4.18. Jeśli y\ — x\ = yi — Z2 = ... = y_n — x_n, to przedział P = [ar, y]_n nazywamy kostką (domkniętą).

Definicja 4.19 (objętość przedziału //-wymiarowego). Jeśli P jest przedziałem o końcach ar, y £ Rⁿ, ar -< y, to liczbę

voi{p; -n<»-*>

i=1

nazywamy objętością przedziału P.