9414912656

82

wersja robocza z dnia: 30 czerwca 2015

(iii)    Jeśli

Gdy spełniony jest także warunek

(iv)    Dla wszystkich A\, A2, A3,... € & zbiór (J^i M €

to mówimy, że & jest o-ciałem (lub: ciałem przeliczalnie addytywnym).

Uwaga 4.3. Korzystając ze wzorów De Morgana, łatwo jest wykazać, że jeśli & C2^X jest ciałem zbiorów i A, B e &, to A Cl B € F oraz A\B G F. Istotnie,

X \ (A n B) = (X \ A) U (X \ B) €

a więc także AflB = X\(X\(>lri B)) e &. Dalej, A\B = AC\(X\B) e Podobnie dowodzi się, że każde a-ciało jest zamknięte ze względu na branie przeliczalnych przecięć.

□

Nietrudno podać kilka prostych przykładów ciał i cr-ciał. Rodzina 2^X wszystkich podzbiorów zbioru X jest zarówno ciałem, jak i a-ciałem. Rodzina

^ = {AcN:i lub N \ A jest zbiorem skończonym}

jest ciałem, ale nie jest a-ciałem: suma przeliczalnie wielu zbiorów skończonych może być zbiorem nieskończonym, którego uzupełnienie też jest nieskończone. Rodzina

^ = {AcR:i lub R \ A jest zbiorem (co najwyżej) przeliczalnym}

jest a-ciałem¹.

Przykład 4.4. Niech (^i)ie/ będzie dowolną rodziną a-ciał (odpowiednio: ciał) podzbiorów zbioru X. Wtedy

$=f] & c 2^x

iei

też jest a-ciałem (odpowiednio: ciałem). To wynika wprost z definicji: każde z ^ jest zamknięte ze względu na odpowiednie działania na zbiorach, więc część wspólna ^ też jest zamknięta ze względu na te same działania.

Uwaga 4.5. Z powyższego przykładu wynika, że dla każdej niepustej rodziny zbiorów C 2^X istnieje najmniejsze (ze względu na inkluzję) a-ciało & C 2^X takie, że ^cś C jest to przecięcie rodziny wszystkich a-ciał, zawierających <3 (jest to rodzina niepusta, gdyż należy do niej a-ciało 2^X).

Definicja 4.6 (zbiory borelowskie). Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Najmniejsze a-ciało, zawierające wszystkie zbiory otwarte w przestrzeni X, nazywamy a-ciałem zbiorów borelowskich w X i oznaczamy Ś8(X).

Z a-ciałem    zbiorów borelowskich w Rⁿ zetkniemy się wielokrotnie.

^ŁTo łatwo wynika z twierdzenia, orzekającego, że suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.