9414912653

98

wersja robocza z dnia: 30 czerwca 2015

(Środkowa równość wynika wprost z definicji objętości przedziału).

Krok 2. Jeśli A i B są zbiorami otwartymi, to

A={jQj, B = 0 R_k,

j=1    k= 1

gdzie Qj (odpowiednio, Rk) są kostkami diadycznymi w R" (odpowiednio, w R^m) o wnętrzach parami rozłącznych. Wtedy jednak

Ax B = (J Qj x Rk,

3,k=i

gdzie przedziały x i?*. mają wnętrza parami rozłączne. Ponieważ miara Lebesgue’a zeruje się na podprzestrzeniach, zawierających ściany tych przedziałów, więc

\_n+m(A x B) = f; A„_+m(Q, x Bi)

j,k=l

= E A„(Q,)A_m(Bi)

j,k=l

= (E (E U*)) = MA)A_m(B).

2£ro& 3. Załóżmy teraz, że A, 5 są zbiorami ograniczonymi typu Gs, tzn.

^-fW *-rW

i=i    j=i

gdzie Ui D U2 D U3 D ... są otwarte i ograniczone w R^ra, zaś V\ D V~2 D Vs D ... są otwarte i ograniczone w R^m. Wtedy

Ax_fl=nwxi5)

j=i

jest zbiorem ograniczonym typu Ga w R^n+m. Na mocy Stwierdzenia 4.9 (iii) o mierze iloczynu ciągu zstępującego,

A_n+m(A xB) = lim A_n+m(Uj x K) = lim X_n(U_j)X_m(V_j)

3=1    J=°°

= lim X_n{Uj) ■ lim A_m(Vj) = A_n(A) • A_m(B).

3=00    j=oo

i£ro& 4. Wzór (4.22) zachodzi, gdy x4, B są ograniczone i A_n(A) = 0 lub A_m(B) = 0. Bez zmniejszenia ogólności niech A„(A) = 0; w drugim przypadku dowód jest taki sam.

Zbiór B jest ograniczony, a więc jest zawarty w pewnej kuli otwartej V c R^m. Niech e > 0. Wobec Twierdzenia 4.26, istnieje taki zbiór otwarty U c R”, że A C U i A_n(U) < e/Xm(V). Zatem

A_n+m(A xB)< X_n+m(U xV) = X_n(U)X_m(V) < e;